Упр.292 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной четырёхугольной призме сторона основания равна $$6\ \text{см}$$, боковое ребро равно $$8\ \text{см}$$. Найдите расстояние от стороны основания до не пересекающей её диагонали призмы.

Рассмотрим прямую $$BC$$ и диагональ $$AC_1$$. Они скрещиваются, поэтому искомое расстояние равно расстоянию от прямой $$AC_1$$ до плоскости основания $$ABCD$$, параллельной прямой $$BC$$.

Это расстояние можно найти как длину перпендикуляра из точки $$A_1$$ к прямой $$BC$$ в боковой грани $$ABB_1A_1$$. Пусть $$BH \perp A_1B$$, тогда $$BH$$ и есть искомое расстояние.

В прямоугольном треугольнике $$ABB_1$$ найдем диагональ:

$$AB_1=\sqrt{AB^2+AA_1^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ см}.$$

Площадь треугольника $$ABB_1$$ выразим двумя способами:

$$S_{ABB_1}=\frac12\cdot AB\cdot BB_1=\frac12\cdot AB_1\cdot BH.$$

Так как $$BB_1=AA_1=8\text{ см}$$, получаем

$$\frac12\cdot 6\cdot 8=\frac12\cdot 10\cdot BH,$$
$$BH=\frac{6\cdot 8}{10}=4{,}8\text{ см}.$$

Ответ: $$4{,}8\text{ см}$$.