Упр.292 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной четырехугольной призме сторона основания равна 6 см, боковое ребро равно 8 см. Найдите расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы.

Подробный ответ

Рассмотрим правильную четырёхугольную призму $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$, где $$AB=6$$ см, $$AA_1=8$$ см. Нужно найти расстояние от стороны основания до диагонали призмы, не пересекающей эту сторону.

Возьмём сторону $$BC$$ и диагональ $$AC_1$$. Прямые $$BC$$ и $$AC_1$$ скрещиваются, поэтому искомое расстояние равно расстоянию от прямой $$AC_1$$ до плоскости, проходящей через $$BC$$ и параллельной $$AC_1$$. Удобно рассмотреть плоскость $$ADC_1B_1$$, которая параллельна прямой $$BC$$.

Тогда расстояние от $$BC$$ до $$AC_1$$ равно расстоянию между прямой $$AC_1$$ и плоскостью $$ADC_1B_1$$, то есть длине перпендикуляра из точки $$B$$ к прямой $$AC_1$$ в плоскости $$ABB_1A_1$$. Обозначим основание перпендикуляра через $$H$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABB_1$$ найдём диагональ $$AB_1$$:

$$ AB_1=\sqrt{AB^2+AA_1^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10 $$

Площадь треугольника $$ABB_1$$ можно выразить двумя способами:

$$ S_{ABB_1}=\frac12\cdot AB\cdot BB_1=\frac12\cdot AB_1\cdot BH $$

Так как $$BB_1=AA_1=8$$ см, то

$$ \frac12\cdot 6\cdot 8=\frac12\cdot 10\cdot BH $$

$$ BH=\frac{6\cdot 8}{10}=4{,}8 $$

Следовательно, расстояние от стороны $$BC$$ до диагонали $$AC_1$$ равно $$4{,}8$$ см.