Упр.291 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная $$d$$, образует с плоскостью основания угол $$\varphi$$, а с одной из сторон основания — угол $$\theta$$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда через $$x,\ y,\ z.$$ Тогда площадь боковой поверхности равна
$$S_{\text{бок}}=2(x+y)z.$$
Так как диагональ $$AC_1=d$$ образует с плоскостью основания угол $$\varphi,$$ то её проекция на основание равна $$AC=d\cos\varphi,$$ а высота параллелепипеда
$$z=d\sin\varphi.$$
Угол между диагональю $$AC_1$$ и стороной основания $$AB$$ равен $$\theta,$$ значит
$$x=AB=d\cos\theta.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ по теореме Пифагора:
$$AC^2=AB^2+BC^2,$$
откуда
$$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{d^2\cos^2\varphi-d^2\cos^2\theta}=d\sqrt{\cos^2\varphi-\cos^2\theta}.$$
Тогда
$$\begin{aligned} S_{\text{бок}}&=2(x+y)z \\ &=2\left(d\cos\theta+d\sqrt{\cos^2\varphi-\cos^2\theta}\right)d\sin\varphi \\ &=2d^2\sin\varphi\left(\cos\theta+\sqrt{\cos^2\varphi-\cos^2\theta}\right). \end{aligned}$$
Ответ: $$S_{\text{бок}}=2d^2\sin\varphi\left(\cos\theta+\sqrt{\cos^2\varphi-\cos^2\theta}\right).$$
