Упр.291 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная d, образует с плоскостью основания угол ф, а с одной из сторон основания — угол 0. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда через $$x,\ y,\ z$$, где $$z$$ — высота.

Площадь боковой поверхности равна

$$S_{\text{бок}}=2(x+y)z.$$

Так как диагональ $$AC_1=d$$ образует с плоскостью основания угол $$\varphi$$, то её проекция на основание равна $$AC=d\cos\varphi$$, а высота параллелепипеда

$$z=d\sin\varphi.$$

Диагональ основания $$AC$$ образует со стороной $$AB$$ угол $$\theta$$, значит в прямоугольном треугольнике $$ABC$$

$$AB=AC\cos\theta=d\cos\varphi\cos\theta,$$

$$BC=AC\sin\theta=d\cos\varphi\sin\theta.$$

Тогда

$$x+y=AB+BC=d\cos\varphi(\cos\theta+\sin\theta).$$

Подставим в формулу площади боковой поверхности:

$$ S_{\text{бок}}=2(x+y)z =2\cdot d\cos\varphi(\cos\theta+\sin\theta)\cdot d\sin\varphi. $$

Следовательно,

$$S_{\text{бок}}=2d^2\sin\varphi\cos\varphi(\cos\theta+\sin\theta).$$

Ответ

$$S_{\text{бок}}=2d^2\sin\varphi\cos\varphi(\cos\theta+\sin\theta).$$