Упр.290 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Угол между диагональю основания прямоугольного параллелепипеда, равной $$1$$, и одной из сторон основания равен $$\varphi$$. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен $$\theta$$. Найдите площадь боковой поверхности данного параллелепипеда.

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда через $$x,\ y,\ z.$$ Тогда площадь боковой поверхности равна

$$S_{\text{бок}}=2(x+y)z.$$

По условию диагональ основания равна $$1$$, а угол между этой диагональю и одной из сторон основания равен $$\varphi$$. Тогда в прямоугольном треугольнике основания

$$x=1\cdot \cos\varphi=\cos\varphi,\qquad y=1\cdot \sin\varphi=\sin\varphi.$$

Пусть угол между диагональю параллелепипеда и этой же стороной равен $$\theta$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда, диагональю основания и высотой $$z$$. По теореме Пифагора:

$$x^2+\left(y^2+z^2\right)=\left(\frac{x}{\cos\theta}\right)^2.$$

Отсюда

$$z^2=\frac{x^2}{\cos^2\theta}-x^2-y^2.$$

Так как $$x^2+y^2=1,$$ получаем

$$z=\sqrt{\frac{\cos^2\varphi}{\cos^2\theta}-1}.$$

Тогда

$$S_{\text{бок}}=2(x+y)z =2(\cos\varphi+\sin\varphi)\sqrt{\frac{\cos^2\varphi}{\cos^2\theta}-1}.$$

Ответ: $$S_{\text{бок}}=2(\cos\varphi+\sin\varphi)\sqrt{\frac{\cos^2\varphi}{\cos^2\theta}-1}.$$