Упр.290 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Угол между диагональю основания прямоугольного параллелепипеда, равной 1, и одной из сторон основания равен ф. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен 0. Найдите площадь боковой поверхности данного параллелепипеда.

Подробный ответ

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда через $$x,\ y,\ z$$, где $$x$$ и $$y$$ — стороны основания, а $$z$$ — боковое ребро.

Площадь боковой поверхности равна

$$S_{\text{бок}}=2(x+y)z.$$

По условию диагональ основания равна $$l$$, а угол между этой диагональю и стороной основания равен $$\varphi$$. Тогда в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$l$$:

$$x=l\cos\varphi,\qquad y=l\sin\varphi.$$

Рассмотрим диагональ параллелепипеда. Угол между этой диагональю и стороной основания равен $$\theta$$. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю основания, боковым ребром и диагональю параллелепипеда, получаем:

$$\cos\theta=\frac{l}{d},$$

где $$d$$ — диагональ параллелепипеда. Значит,

$$d=\frac{l}{\cos\theta}.$$

С другой стороны, по теореме Пифагора для этого же треугольника:

$$d^2=l^2+z^2.$$

Подставим $$d=\dfrac{l}{\cos\theta}$$:

$$\left(\frac{l}{\cos\theta}\right)^2=l^2+z^2,$$

$$z^2=l^2\left(\frac{1}{\cos^2\theta}-1\right)=l^2\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta},$$

откуда

$$z=l\tan\theta.$$

Теперь найдём площадь боковой поверхности:

$$ S_{\text{бок}}=2(x+y)z =2\bigl(l\cos\varphi+l\sin\varphi\bigr)\cdot l\tan\theta. $$