Упр.29 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что плоскость $$ADK$$ пересекает отрезок $$MC$$ в некоторой точке $$H$$, и найдите отрезок $$KH$$.

Так как $$ABCD$$ — трапеция, то $$AD \parallel BC$$.

Плоскость $$BMC$$ содержит прямую $$BC$$, а плоскость $$ADK$$ содержит прямую $$AD$$. Кроме того, точка $$K$$ лежит на отрезке $$BM$$, значит, прямая $$BK$$ принадлежит плоскости $$BMC$$, а точка $$K$$ принадлежит плоскости $$ADK$$. Следовательно, плоскости $$ADK$$ и $$BMC$$ пересекаются по прямой, проходящей через $$K$$ и параллельной $$BC$$, то есть по прямой $$KH$$.

Так как $$AD \parallel BC$$, то $$KH \parallel AD$$. Поэтому в треугольнике $$BMC$$ прямая $$KH$$, проходящая через середину стороны $$BM$$ и параллельная основанию $$BC$$, пересекает сторону $$MC$$ в её середине. Значит, точка $$H$$ — середина отрезка $$MC$$.

Тогда $$KH$$ — средняя линия треугольника $$BMC$$, поэтому

$$KH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{ см}.$$

Ответ: $$6\text{ см}$$.