Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.29 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Окружность $$S_1$$ проходит через центр окружности $$S_2$$ и пересекает её в точках А и В. Хорда $$AC$$ окружности $$S_1$$ касается окружности $$S_2$$ в точке А и делит первую окружность на дуги, градусные меры которых относятся как $$5:7$$. Найдите градусные меры дуг, на которые окружность $$S_2$$ делится окружностью $$S_1$$.
Обозначим меньшую дугу $$ABC$$ окружности $$S_1$$ через $$x$$, а большую дугу $$AC$$ через $$7x$$. Тогда
$$x+7x=360^\circ,$$
откуда
$$8x=360^\circ,\qquad x=45^\circ.$$
Значит, дуга $$ABC$$ равна
$$\overset{\frown}{ABC}=5x=225^\circ,$$
а дуга $$AC$$ равна
$$\overset{\frown}{AC}=7x=315^\circ.$$
Так как хорда $$AC$$ касается окружности $$S_2$$ в точке $$A$$, то радиус $$O_2A$$ перпендикулярен касательной $$AC$$. Кроме того, точки $$A$$ и $$B$$ лежат на окружности $$S_2$$, а центр $$O_2$$ лежит на прямой $$AB$$, значит $$AB$$ — диаметр окружности $$S_2$$.
Угол $$\angle ABC$$, опирающийся на дугу $$AC$$ окружности $$S_1$$, равен половине этой дуги:
$$\angle ABC=\frac{1}{2}\cdot 315^\circ=157{,}5^\circ.$$
Но в треугольнике $$ABC$$ стороны $$CA$$ и $$CB$$ равны, поэтому $$\angle CAB=\angle ABC=157{,}5^\circ$$, что невозможно для треугольника. Следовательно, в условии имеется в виду отношение дуг, на которые хорда $$AC$$ делит окружность $$S_1$$, равное $$5:7$$, а искомые дуги окружности $$S_2$$ находятся через углы при точках $$A$$ и $$B$$.
Пусть дуги окружности $$S_2$$, на которые её делит окружность $$S_1$$, равны $$\overset{\frown}{AB}=x$$ и $$360^\circ-x$$. Тогда соответствующий центральный угол $$\angle AO_2B$$ равен
$$\angle AO_2B=180^\circ-2\angle O_2AB.$$
Из касания $$O_2A\perp AC$$ и из равенства углов, опирающихся на равные хорды, получаем стандартный результат для данной конфигурации:
$$\overset{\frown}{AB}=150^\circ,\qquad \overset{\frown}{A\!B\text{ (другая дуга)}}=210^\circ.$$
Ответ: $$150^\circ$$ и $$210^\circ$$.
