Упр.29 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B трапеции ABCD основание BC равно 12 см. Точка M не лежит в плоскости трапеции, а точка K — середина отрезка BM. Докажите, что плоскость ADK пересекает отрезок MC в некоторой точке H, и найдите отрезок КН.

Подробный ответ

Так как $$ABCD$$ — трапеция, то $$AD \parallel BC$$. Плоскость $$BMC$$ содержит прямую $$BC$$, значит прямая $$AD$$ параллельна плоскости $$BMC$$.

Плоскость $$ADK$$ проходит через прямую $$AD$$ и точку $$K$$, а точка $$K$$ лежит в плоскости $$BMC$$, поскольку $$K$$ — середина отрезка $$BM$$. Следовательно, плоскости $$ADK$$ и $$BMC$$ пересекаются по прямой, проходящей через точку $$K$$ и параллельной $$AD$$. Обозначим эту прямую через $$KH$$. Тогда $$KH \parallel AD$$, а значит, $$KH \parallel BC$$.

Точка $$H$$ лежит на отрезке $$MC$$, поэтому в треугольнике $$BMC$$ прямая $$KH$$, параллельная основанию $$BC$$, пересекает сторону $$MC$$ в точке $$H$$. Отсюда треугольники $$MKH$$ и $$MBC$$ подобны.

Так как $$K$$ — середина отрезка $$BM$$, то $$BK=KM$$, следовательно, $$BM=2KM$$. Коэффициент подобия треугольников $$MKH$$ и $$MBC$$ равен

$$ \frac{MK}{MB}=\frac{1}{2}. $$

Тогда

$$ \frac{KH}{BC}=\frac{1}{2}, $$

откуда

$$ KH=\frac{1}{2}\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{ см}. $$