Упр.289 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что площадь полной поверхности куба равна 2d2, где d — диагональ куба.

Пусть ребро куба равно $$a$$, а его пространственная диагональ — $$d$$.

Найдём связь между $$d$$ и $$a$$. Рассмотрим диагональ грани куба: по теореме Пифагора

$$AC^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $$AC$$ и $$AA_1$$. Тогда

$$d^2=AC^2+AA_1^2=2a^2+a^2=3a^2,$$

откуда

$$a^2=\frac{d^2}{3}.$$

Площадь полной поверхности куба равна

$$S=6a^2=6\cdot \frac{d^2}{3}=2d^2.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$S_{\text{куба}}=2d^2.$$