Упр.289 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что площадь полной поверхности куба равна $$2d^2$$, где $$d$$ — диагональ куба.

Пусть ребро куба равно $$a$$, а его пространственная диагональ равна $$d$$.

Из прямоугольного треугольника с катетами $$a$$ и $$a$$ находим диагональ грани куба:

$$AC^2=a^2+a^2=2a^2.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна $$d$$, а катеты — $$AC$$ и $$a$$. Тогда

$$d^2=AC^2+a^2=2a^2+a^2=3a^2,$$

откуда

$$a^2=\frac{d^2}{3}.$$

Площадь полной поверхности куба равна

$$S=6a^2=6\cdot \frac{d^2}{3}=2d^2.$$

Что и требовалось доказать.