Упр.287 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Ребро правильного октаэдра равно $$a$$. Найдите расстояние между: а) двумя его противоположными вершинами; б) центрами двух смежных граней; в) противоположными гранями.

Подробный ответ

Рассмотрим правильный октаэдр со стороной $$a$$.

Ход решения

а) Две противоположные вершины правильного октаэдра соединены диагональю квадрата, в котором лежат четыре его вершины. Поэтому

$$d=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

б) Центры двух смежных граней лежат в плоскости, проходящей через середины соответствующих рёбер. Обозначим эти центры через $$I$$ и $$J$$. Тогда $$I$$ и $$J$$ — точки пересечения медиан равносторонних треугольников, являющихся гранями октаэдра.

Пусть $$GH$$ — средняя линия треугольника, тогда

$$GH=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

Так как центр тяжести делит медиану в отношении $$2:1$$, то расстояние между центрами смежных граней равно

$$IJ=\frac{2}{3}\,GH=\frac{2}{3}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{3}.$$

в) Противоположные грани правильного октаэдра параллельны, поэтому расстояние между ними равно расстоянию между их центрами. Обозначим эти центры через $$K$$ и $$L$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором

$$OK=\frac{a}{\sqrt{3}}, \qquad OF=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

Тогда по теореме Пифагора

$$KL=2\sqrt{OF^2-OK^2} =2\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{3}} =2\sqrt{\frac{a^2}{6}} =\frac{2a}{\sqrt{6}}.$$