Упр.287 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите расстояние между: а) двумя его противоположными вершинами; б) центрами двух смежных граней; в) противоположными гранями.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — квадрат, а $$F$$ и $$E$$ — вершины правильного октаэдра, лежащие по разные стороны от плоскости $$ABCD$$.

а) Противоположные вершины октаэдра соединены диагональю квадрата $$ABCD$$. Поэтому

$$BD=\sqrt{2}\,a.$$

б) Обозначим через $$I$$ и $$J$$ центры двух смежных граней. Построим точки $$H$$ и $$G$$ так, что $$AH=HD$$ и $$AG=GB$$. Тогда $$H$$ и $$G$$ — середины соответствующих рёбер, а точки $$I$$ и $$J$$ являются центрами тяжести равносторонних треугольников $$GFH$$ и $$GFI$$.

В плоскости $$GFH$$ имеем:

$$\frac{FI}{IG}=\frac{2}{1}, \qquad \frac{FJ}{JH}=\frac{2}{1}.$$

Так как $$\angle GFH$$ — общий, то треугольники $$GFH$$ и $$IFJ$$ подобны. Следовательно,

$$\frac{GH}{IJ}=\frac{FG}{FI}=\frac{3}{2}.$$

Отсюда

$$IJ=\frac{2}{3}\,GH.$$

Но $$GH$$ — средняя линия треугольника $$ABD$$, значит

$$GH=\frac{BD}{2}=\frac{\sqrt{2}\,a}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

Тогда

$$IJ=\frac{2}{3}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\,a}{3}.$$

в) Противоположные грани параллельны, поэтому расстояние между ними равно расстоянию между их центрами. Обозначим эти центры через $$K$$ и $$L$$. По симметрии центр квадрата $$ABCD$$ делит $$KL$$ пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OKF$$, где $$O$$ — центр квадрата $$ABCD$$. Тогда

$$OF=\frac{a}{\sqrt{2}}, \qquad FK=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

По теореме Пифагора:

$$ OK=\sqrt{OF^2-FK^2} =\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{3}} =\sqrt{\frac{a^2}{6}} =\frac{a}{\sqrt{6}}. $$

Так как $$O$$ — середина отрезка $$KL$$, то

$$KL=2OK=\frac{2a}{\sqrt{6}}.$$