Упр.286 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильном тетраэдре $$h$$ — высота, $$m$$ — ребро, а $$n$$ — расстояние между центрами его граней. Выразите: а) $$m$$ через $$h$$; б) $$n$$ через $$m$$.

Пусть $$ABCD$$ — правильный тетраэдр, $$DO=h$$ — его высота, $$CD=m$$ — ребро, $$OE=n$$ — расстояние между центрами граней.

Обозначим через $$H$$ середину ребра $$AB$$. Тогда в равностороннем треугольнике $$ABC$$ отрезок $$CH$$ — медиана, а значит и высота. Поэтому

$$CH=\frac{\sqrt{3}}{2}m.$$

Треугольник $$CDH$$ прямоугольный, так как $$DH\perp CH$$. По теореме Пифагора:

$$CD^2=CH^2+DH^2$$

$$m^2=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}m\right)^2+h^2$$

$$m^2=\frac{3}{4}m^2+h^2$$

$$h^2=\frac{1}{4}m^2,\qquad h=\frac{m}{2}$$

Отсюда

$$m=2h.$$

Теперь найдём $$n$$. Точки $$O$$ и $$E$$ — центры граней $$ABC$$ и $$DBC$$, то есть точки пересечения медиан соответствующих равносторонних треугольников. Поэтому в треугольнике $$DHC$$ отрезки $$DO$$ и $$EH$$ являются медианами, а значит

$$\frac{DO}{EH}=\frac{CD}{CH}=\frac{m}{\frac{\sqrt{3}}{2}m}=\frac{2}{\sqrt{3}}.$$

Так как $$DO=h$$, а $$OE$$ соединяет центры двух соседних граней, то из подобия соответствующих треугольников получаем

$$OE=\frac{1}{3}CD=\frac{m}{3}.$$

Следовательно,

$$n=\frac{m}{3}.$$

Ответ: $$m=2h,\quad n=\frac{m}{3}.$$