Упр.286 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильном тетраэдре h — высота, m — ребро, а n — расстояние между центрами его граней. Выразите: а) m через h; б) n через т.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ центр основания правильного тетраэдра, а через $$E$$ — центр грани $$DCH$$. Тогда $$DO=h$$, $$CD=m$$, $$OE=n$$.

Проведём в основании точку $$H$$ так, что $$AH=HB$$. Тогда $$H$$ — середина ребра $$AB$$, а в равностороннем треугольнике $$DCH$$ точка $$E$$ является точкой пересечения медиан, значит $$OE$$ — средняя линия, связанная с медианой.

Рассмотрим треугольник $$CBH$$. Он прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:

$$ CH=\sqrt{CB^2-BH^2} =\sqrt{m^2-\left(\frac{m}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{3}{4}m^2} =\frac{\sqrt{3}}{2}m. $$

Так как $$O$$ — центр равностороннего треугольника $$CBH$$, то его медиана $$CO$$ равна $$\frac{2}{3}$$ от высоты:

$$ CO=\frac{2}{3}\,CH=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}m=\frac{\sqrt{3}}{3}m. $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$COD$$:

$$ CD^2=CO^2+DO^2. $$

Подставим известные выражения:

$$ m^2=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}m\right)^2+h^2 =\frac{m^2}{3}+h^2. $$

$$ h^2=m^2-\frac{m^2}{3}=\frac{2}{3}m^2, $$
откуда
$$ m=\sqrt{\frac{3}{2}}\,h. $$

Для нахождения $$n$$ рассмотрим треугольники, связанные с центрами граней. В правильном тетраэдре расстояние между центрами двух соседних граней относится к ребру как $$1:3$$, поэтому

$$ n=\frac{m}{3}. $$

Подставляя найденное выражение для $$m$$, получаем:

$$ n=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{2}}\,h. $$