Упр.285 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что в правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры граней, равны друг другу.

Соединим центры всех граней тетраэдра. Получим новый тетраэдр, вершинами которого являются центры граней исходного тетраэдра.

Докажем, что его рёбра равны.

Рассмотрим, например, две грани правильного тетраэдра, имеющие общее ребро. Пусть $$O$$ и $$N$$ — центры этих граней. Тогда отрезок $$ON$$ соединяет центры двух равносторонних треугольников, лежащих в симметричных относительно плоскости симметрии положениях. Поэтому соответствующие стороны этих треугольников равны, а значит, равны и расстояния от центров граней до общих элементов симметрии.

Аналогично для любой пары соседних граней получаем, что отрезки, соединяющие их центры, равны между собой. Следовательно, все рёбра тетраэдра, образованного центрами граней, попарно равны.

Значит, отрезки, соединяющие центры граней правильного тетраэдра, равны друг другу.