Упр.285 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что в правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры граней, равны друг другу.

Подробный ответ

Обозначим центры граней правильного тетраэдра $$ABCD$$ через $$M, N, P, Q$$. Нужно доказать, что все отрезки, соединяющие эти точки, равны.

Рассмотрим, например, отрезки $$MN$$ и $$PQ$$. В правильном тетраэдре существует плоскость симметрии, проходящая через ребро и середины противоположных рёбер. При отражении относительно такой плоскости одна грань переходит в другую, а их центры — в соответствующие центры.

Так как все грани правильного тетраэдра равны, то и их центры расположены симметрично относительно плоскостей симметрии тетраэдра. Следовательно, соответствующие отрезки между центрами граней переходят друг в друга при симметрии, а значит, имеют одинаковую длину.

Поскольку любую пару центров граней можно связать аналогичным рассуждением, получаем, что все отрезки, соединяющие центры граней правильного тетраэдра, равны между собой.