Упр.283 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
В правильном тетраэдре $$DABC$$ ребро равно $$a$$. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани $$ABC$$: а) параллельно грани $$BDC$$; б) перпендикулярно к ребру $$AD$$.
Пусть $$DABC$$ — правильный тетраэдр, $$AB=BC=CA=AD=BD=CD=a$$. Обозначим через $$O$$ центр грани $$ABC$$.
а) Плоскость проходит через $$O$$ и параллельна грани $$BDC$$
Так как плоскость сечения параллельна грани $$BDC$$, то сечение — треугольник, подобный $$\triangle BDC$$. Его вершины лежат на рёбрах $$AB, AC, AD$$.
В равностороннем треугольнике $$ABC$$ точка $$O$$ делит медианы в отношении $$2:1$$, считая от вершины, поэтому
$$\frac{AK}{AB}=\frac{AL}{AC}=\frac{AM}{AD}=\frac{AO}{AO+OO’}=\frac{2}{3},$$
то есть коэффициент подобия сечения и грани $$BDC$$ равен $$\frac{2}{3}$$. Следовательно, отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{KLM}}{S_{BDC}}=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}.$$
Площадь равностороннего треугольника $$BDC$$:
$$S_{BDC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.$$
Тогда
$$S_{KLM}=\frac{4}{9}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{9}a^2.$$
б) Плоскость проходит через $$O$$ и перпендикулярна ребру $$AD$$
Пусть плоскость сечения пересекает рёбра $$AB, AC, AD$$ в точках $$K, M, H$$ соответственно. Тогда сечение — треугольник $$KHM$$.
Из симметрии правильного тетраэдра и из того, что плоскость проходит через центр грани $$ABC$$, получаем, что $$K$$ и $$M$$ — середины рёбер $$AB$$ и $$AC$$, а значит
$$KM \parallel BC,\qquad KM=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}.$$
Так как плоскость сечения перпендикулярна $$AD$$, то высота треугольника $$KHM$$, опущенная на $$KM$$, равна расстоянию от точки $$H$$ до прямой $$KM$$ в этой плоскости. В правильном тетраэдре это расстояние выражается через высоту тетраэдра:
$$h=\sqrt{\frac{2}{3}}\,a.$$
Тогда площадь сечения
$$S_{KHM}=\frac{1}{2}\cdot KM \cdot h =\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\,a =\frac{\sqrt{2}}{9}a^2.$$
Ответ: а) $$\frac{\sqrt{3}}{9}a^2$$; б) $$\frac{\sqrt{2}}{9}a^2$$.
