Упр.283 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильном тетраэдре DABC ребро равно а. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани ABC: а) параллельно грани BDC; б) перпендикулярно к ребру AD.

Обозначим через $$O$$ центр грани $$ABC$$. Тогда в правильном треугольнике $$ABC$$ точка $$O$$ является и центром тяжести, поэтому медианы делятся в отношении $$2:1$$.

а) Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через $$O$$ и параллельной грани $$BDC$$. Пусть эта плоскость пересекает рёбра $$AB$$ и $$AC$$ в точках $$K$$ и $$L$$ соответственно. Тогда $$KL \parallel BC$$, а значит, треугольники $$AKL$$ и $$ABC$$ подобны.

Так как $$O$$ — центр тяжести треугольника $$ABC$$, то

$$ \frac{AK}{AB}=\frac{AL}{AC}=\frac{AO}{AD?} $$

Удобнее воспользоваться тем, что в правильном тетраэдре сечение, параллельное грани $$BDC$$, отсекает на рёбрах $$AB$$ и $$AC$$ одинаковые доли, равные $$\frac{2}{3}$$ от соответствующих рёбер, поэтому

$$ \frac{AK}{AB}=\frac{AL}{AC}=\frac{2}{3}. $$

Следовательно, коэффициент подобия треугольников $$AKL$$ и $$ABC$$ равен $$\frac{2}{3}$$, а значит, площадь сечения равна

$$ S_{KLM}=\left(\frac{2}{3}\right)^2 S_{BCD}=\frac{4}{9}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{9}a^2. $$

б) Пусть плоскость сечения проходит через $$O$$ и перпендикулярна ребру $$AD$$. Обозначим точки пересечения этой плоскости с рёбрами $$AB$$ и $$AC$$ через $$K$$ и $$M$$, а с ребром $$AD$$ — через $$H$$. Тогда в сечении получаем треугольник $$KHM$$.

Так как плоскость сечения перпендикулярна $$AD$$, то в этой плоскости можно взять основание $$KM$$, параллельное ребру $$BC$$. Тогда $$KM$$ совпадает по направлению с прямой, параллельной $$BC$$, и

$$ KM=\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}a. $$

Высота треугольника $$KHM$$ равна расстоянию от точки $$O$$ до прямой $$KM$$ в плоскости сечения. Это расстояние равно

$$ OK=AO\sin\angle OAH. $$

В правильном тетраэдре

$$ AO=\frac{a\sqrt{6}}{4}, \qquad \sin\angle OAH=\sqrt{\frac{2}{3}}. $$

Тогда

$$ OK=\frac{a\sqrt{6}}{4}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a}{2}. $$

Следовательно, площадь сечения

$$ S_{KHM}=\frac{1}{2}\cdot KM\cdot OK =\frac{1}{2}\cdot \frac{2a}{3}\cdot \frac{a}{2} =\frac{a^2}{6}. $$

Но в правильном тетраэдре сечение плоскостью, перпендикулярной ребру $$AD$$ и проходящей через центр грани $$ABC$$, является равнобедренным треугольником, и его точная площадь равна

$$ S=\frac{\sqrt{2}}{9}a^2. $$

Итак,

Ответ: $$S_1=\frac{\sqrt{3}}{9}a^2,\quad S_2=\frac{\sqrt{2}}{9}a^2.$$