Упр.282 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите угол между двумя рёбрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани (см. рис. 89).

Рассмотрим треугольник $$AFC$$.

В правильном октаэдре все рёбра равны, значит

$$AF=AB,\qquad CF=AB.$$

Точки $$A,B,C,D$$ лежат в одной плоскости и образуют квадрат, поэтому диагональ $$AC$$ равна

$$AC=AB\sqrt{2}.$$

Тогда

$$AC^2=2AB^2,$$

а также

$$AF^2+CF^2=AB^2+AB^2=2AB^2.$$

Следовательно,

$$AC^2=AF^2+CF^2.$$

По обратной теореме Пифагора треугольник $$AFC$$ прямоугольный, значит

$$\angle AFC=90^\circ.$$

Ответ: $$90^\circ$$