Упр.281 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B кубе ABCDA1B1C1D1 из вершины D1 проведены диагонали граней D1A, D1C и D1B1 и концы их соединены отрезками. Докажите, что многогранник D1AB1C — правильный тетраэдр. Найдите отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра.

Подробный ответ

Рассмотрим многогранник $$D_1AB_1C.$$ Его рёбра $$D_1A,$$ $$AB_1,$$ $$B_1C,$$ $$CD_1$$ являются диагоналями граней куба, а значит, все они равны между собой:

$$D_1A=AB_1=B_1C=CD_1.$$

Кроме того, каждая грань куба — квадрат, поэтому диагонали его граней равны. Следовательно, все рёбра тетраэдра $$D_1AB_1C$$ равны, то есть $$D_1AB_1C$$ — правильный тетраэдр.

Пусть ребро куба равно $$a.$$ Тогда площадь поверхности куба:

$$S_{\text{куба}}=6a^2.$$

У правильного тетраэдра со стороной $$a\sqrt{2}$$ каждая грань — равносторонний треугольник со стороной $$a\sqrt{2},$$ поэтому площадь одной грани равна

$$S_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}(a\sqrt{2})^2=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2.$$

Тогда площадь поверхности тетраэдра:

$$S_{D_1AB_1C}=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a^2=2\sqrt{3}\,a^2.$$

Искомое отношение:

$$\frac{S_{\text{куба}}}{S_{D_1AB_1C}}=\frac{6a^2}{2\sqrt{3}\,a^2}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.$$