Упр.281 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В кубе $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ из вершины $$D_1$$ проведены диагонали граней $$D_1A$$, $$D_1C$$ и $$D_1B_1$$, и концы их соединены отрезками. Докажите, что многогранник $$D_1AB_1C$$ — правильный тетраэдр. Найдите отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра.

Рассмотрим многогранник $$AB_1CD_1$$.

Его рёбра $$AB_1,\; B_1C,\; CD_1,\; D_1A$$ являются диагоналями граней куба, а значит, все они равны между собой:

$$AB_1=B_1C=CD_1=D_1A.$$

Кроме того, каждая грань этого многогранника — равносторонний треугольник, например

$$AB_1= B_1C=AC=\text{диагональ грани куба},$$

и аналогично для остальных граней. Следовательно, $$AB_1CD_1$$ — правильный тетраэдр.

Пусть ребро куба равно $$a$$. Тогда площадь поверхности куба:

$$S_{\text{куба}}=6a^2.$$

Сторона правильного тетраэдра равна диагонали грани куба:

$$AB_1=a\sqrt{2}.$$

Площадь одной грани тетраэдра:

$$S_{\triangle}=\frac{\sqrt{3}}{4}(a\sqrt{2})^2=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2.$$

Тогда площадь поверхности тетраэдра:

$$S_{AB_1CD_1}=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a^2=2\sqrt{3}\,a^2.$$

Искомое отношение:

$$\frac{S_{\text{куба}}}{S_{AB_1CD_1}} =\frac{6a^2}{2\sqrt{3}\,a^2} =\frac{3}{\sqrt{3}} =\sqrt{3}.$$

Ответ: $$\sqrt{3}$$.