Упр.280 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Ребро куба равно $$a$$. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней.

Подробный ответ

Рассмотрим два сечения куба.

1) Сечение $$ACD_1$$.

Треугольник $$ACD_1$$ составлен из диагоналей граней куба, а диагонали квадратов равны, значит $$AC=CD_1=AD_1$$. Следовательно, $$\triangle ACD_1$$ — равносторонний.

Тогда его площадь равна

$$S_{ACD_1}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot AC^2$$

Так как $$AC$$ — диагональ грани куба, то

$$AC=a\sqrt{2}$$

Следовательно,

$$S_{ACD_1}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (a\sqrt{2})^2 =\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 2a^2 =\frac{\sqrt{3}}{2}a^2.$$

2) Сечение $$ACC_1A_1$$.

Четырёхугольник $$ACC_1A_1$$ — прямоугольник, так как $$AA_1\perp AC$$, а противоположные стороны параллельны.

Его стороны:

$$AA_1=a,\qquad AC=a\sqrt{2}.$$

Тогда

$$S_{ACC_1A_1}=AA_1\cdot AC=a\cdot a\sqrt{2}=a^2\sqrt{2}.$$