Упр.28 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. На сторонах $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ взяты соответственно точки $$D$$ и $$E$$ так, что длина отрезка $$DE$$ равна $$5$$ см. Плоскость $$\alpha$$ проходит через точки $$B$$ и $$C$$ и параллельна отрезку $$DE$$. Найдите длину отрезка $$BC$$.

Так как точки $$B$$ и $$C$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, то прямая $$BC$$ принадлежит плоскости $$\alpha$$. Плоскость, проходящая через прямую $$DE$$ и параллельная плоскости $$\alpha$$, пересекает плоскость треугольника $$ABC$$ по прямой, параллельной $$BC$$. Значит, $$DE \parallel BC$$.

Следовательно, треугольники $$ADE$$ и $$ABC$$ подобны.

Из подобия получаем:

$$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}.$$

По условию $$\frac{BD}{DA}=\frac{2}{3}$$, значит $$AB=BD+DA$$ и

$$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{2+3}=\frac{3}{5}.$$

Тогда

$$\frac{DE}{BC}=\frac{3}{5}.$$

Подставим $$DE=5$$ см:

$$\frac{5}{BC}=\frac{3}{5},$$

откуда

$$BC=\frac{25}{3}\text{ см}.$$

Ответ: $$\frac{25}{3}\text{ см}$$.