Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.28 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами $$13$$, $$13$$ и $$24$$ и расстояние между центрами этих окружностей.

В треугольнике $$ABC$$ со сторонами $$13, 13, 24$$ найдём полупериметр:

$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{13+13+24}{2}=25.$$

По формуле Герона площадь треугольника равна

$$S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=\sqrt{25\cdot 12\cdot 12\cdot 1}=60.$$

Радиус описанной окружности:

$$R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S}=\frac{13\cdot 13\cdot 24}{4\cdot 60}=16{,}9.$$

Радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{2S}{AB+BC+AC}=\frac{2\cdot 60}{50}=2{,}4.$$

Найдём расстояние между центрами окружностей. Так как треугольник равнобедренный, высота $$BH$$ к основанию $$AC$$ является также медианой, поэтому

$$AH=\frac{AC}{2}=12.$$

Тогда

$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5.$$

Центр описанной окружности лежит на высоте на расстоянии $$R-BH$$ от вершины $$B$$, а центр вписанной окружности — на расстоянии $$r$$ от стороны $$AC$$. Поэтому

$$OO_1=R-BH+r=16{,}9-5+2{,}4=14{,}3.$$

Ответ: $$16{,}9;\ 2{,}4;\ 14{,}3.$$