Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.28 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 13, 13 и 24 и расстояние между центрами этих окружностей.

Найдём полупериметр треугольника:

$$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{13+13+24}{2}=25.$$

По формуле Герона вычислим площадь:

$$S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=\sqrt{25\cdot 12\cdot 12\cdot 1}=60.$$

Радиус описанной окружности:

$$R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S}=\frac{13\cdot 13\cdot 24}{4\cdot 60}=\frac{169}{10}=16{,}9.$$

Радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{2S}{AB+BC+AC}=\frac{2\cdot 60}{50}=\frac{12}{5}=2{,}4.$$

Теперь найдём расстояние между центрами окружностей. Так как треугольник равнобедренный, высота $BH$, проведённая к основанию $AC$, является также медианой и биссектрисой. Тогда

$$AH=\frac{AC}{2}=12.$$

Из прямоугольного треугольника $ABH$:

$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5.$$

Центр описанной окружности лежит на высоте на расстоянии $BH-R$ от вершины $B$, а центр вписанной окружности — на расстоянии $r$ от стороны $AC$. Поэтому расстояние между центрами равно

$$OO_1=R-BH+r=16{,}9-5+2{,}4=14{,}3.$$

Ответ

$$16{,}9;\ 2{,}4;\ 14{,}3.$$