Упр.270 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основаниями усеченной пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 5 см и 3 см соответственно. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскостям оснований и равно 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Подробный ответ

Обозначим боковые грани усечённой правильной треугольной пирамиды через $$AA_1B_1B,$$ $$BB_1C_1C,$$ $$CC_1A_1A.$$ Тогда площадь боковой поверхности равна сумме площадей этих трёх трапеций:

$$S_{\text{бок}}=S_{AA_1B_1B}+S_{BB_1C_1C}+S_{CC_1A_1A}.$$

Так как основание пирамиды — правильный треугольник, а одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскостям оснований, то соответствующие боковые грани являются равнобедренными трапециями, а все три боковые грани равны по площади.

Найдём площадь одной из них, например $$AA_1B_1B.$$ По условию $$BB_1=1\text{ см},$$ $$AB=5\text{ см},$$ $$A_1B_1=3\text{ см}.$$ Тогда

$$S_{AA_1B_1B}=\frac{AB+A_1B_1}{2}\cdot BB_1=\frac{5+3}{2}\cdot 1=4\text{ см}^2.$$

Следовательно,

$$S_{BB_1C_1C}=S_{CC_1A_1A}=4\text{ см}^2.$$

Тогда

$$S_{\text{бок}}=4+4+4=12\text{ см}^2.$$