Упр.27 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точка $$C$$ лежит на отрезке $$AB$$, причём $$AB:BC=4:3$$. Отрезок $$CD=12\text{ см}$$ параллелен плоскости $$\alpha$$, проходящей через точку $$B$$. Докажите, что прямая $$AD$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в некоторой точке $$E$$, и найдите отрезок $$BE$$.

Пусть плоскости $$ABE$$ и $$\alpha$$ пересекаются по прямой $$BE$$. Так как прямая $$CD$$ параллельна плоскости $$\alpha$$ и пересекает плоскость $$ABE$$ в точке $$D$$, то линия пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой. Значит, $$BE \parallel CD$$.

Тогда в плоскости $$ABE$$ треугольники $$\triangle ABE$$ и $$\triangle ACD$$ подобны, так как $$BE \parallel CD$$.

Из условия $$AB:BC=4:3$$, значит

$$AB=BC+CA=3x+x=4x,\qquad AC=x.$$

Следовательно, коэффициент подобия равен

$$\frac{AB}{AC}=\frac{4x}{x}=4.$$

Тогда

$$\frac{BE}{CD}=4,$$

откуда

$$BE=4\cdot CD=4\cdot 12=48\text{ см}.$$

Прямая $$AD$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$E$$, а длина отрезка $$BE$$ равна $$48\text{ см}$$.

Ответ

$$BE=48\text{ см}.$$