Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.27 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. На катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены окружности. Найдите их общую хорду, если катеты равны $$3$$ и $$4$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$, построены окружности на катетах $$AC$$ и $$BC$$ как на диаметрах. Их общая хорда проходит через точку пересечения окружностей и обозначена $$CH$$.

Так как $$AE=CE$$ и $$BF=CF$$, то точки $$E$$ и $$F$$ — середины катетов, а прямая $$FE$$ является средней линией треугольника $$ABC$$, значит $$FE \parallel AB$$. Следовательно, общая хорда $$HC$$ перпендикулярна $$AB$$.

Найдём гипотенузу:

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5.$$

Площадь треугольника $$ABC$$:

$$S=\frac12\cdot AC\cdot BC=\frac12\cdot 3\cdot 4=6.$$

С другой стороны, если взять основание $$AB$$ и высоту $$CH$$, то

$$S=\frac{AB\cdot CH}{2}.$$

Тогда

$$\frac{5\cdot CH}{2}=6,$$

откуда

$$CH=\frac{12}{5}.$$

Ответ: $$\frac{12}{5}$$.