Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.27 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: На катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены окружности. Найдите их общую хорду, если катеты равны 3 и 4.

Обозначим общую хорду окружностей через $$HC$$. Пусть $$\triangle ABC$$ — прямоугольный, где $$\angle C=90^\circ$$, $$AC=3$$, $$BC=4$$.

Тогда гипотенуза

$$ AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5. $$

Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

$$ S=\frac12 AC\cdot BC=\frac12\cdot 3\cdot 4=6, $$

и через основание $$AB$$ и высоту $$CH$$:

$$ S=\frac12 AB\cdot CH. $$

Приравниваем:

$$ \frac12\cdot 5\cdot CH=6. $$

Отсюда

$$ CH=\frac{12}{5}. $$

Ответ

$$\frac{12}{5}$$