Упр.269 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Стороны оснований правильной треугольной усечённой пирамиды равны $$4\ \text{дм}$$ и $$2\ \text{дм}$$, а боковое ребро равно $$2\ \text{дм}$$. Найдите высоту и апофему пирамиды.

Пусть $$ABC A_1B_1C_1$$ — правильная треугольная усечённая пирамида. Тогда основания $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ — равносторонние треугольники со сторонами $$4$$ дм и $$2$$ дм соответственно, а боковые грани — равнобедренные трапеции.

Апофема усечённой пирамиды — это высота боковой грани, то есть высота трапеции $$AA_1B_1B$$. Опустим в этой трапеции высоту из точки $$A_1$$ на основание $$AB$$. Тогда она делит основание пополам, и

$$AD=\frac{AB-A_1B_1}{2}=\frac{4-2}{2}=1.$$

В прямоугольном треугольнике $$AA_1D$$ по теореме Пифагора:

$$AA_1^2=A_1A^2-AD^2=2^2-1^2=3,$$
откуда

$$AA_1=\sqrt{3}\ \text{дм}.$$

Теперь найдём высоту усечённой пирамиды. Обозначим через $$O$$ и $$O_1$$ центры оснований $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. Тогда $$OO_1$$ — высота пирамиды.

Рассмотрим радиусы описанных окружностей оснований:

$$R_{ABC}=\frac{4}{\sqrt{3}}, \qquad R_{A_1B_1C_1}=\frac{2}{\sqrt{3}}.$$

Пусть $$H$$ — проекция точки $$B_1$$ на прямую $$OO_1$$. Тогда в прямоугольном треугольнике, составленном из бокового ребра и разности радиусов, получаем

$$B_1H^2=B_1B^2-\left(R_{ABC}-R_{A_1B_1C_1}\right)^2 =2^2-\left(\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2.$$

Следовательно,

$$B_1H^2=4-\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 =4-\frac{4}{3} =\frac{8}{3},$$
значит

$$OO_1=B_1H=\sqrt{\frac{8}{3}}\ \text{дм}.$$

Ответ: $$\sqrt{\frac{8}{3}}$$ дм; $$\sqrt{3}$$ дм.