Упр.268 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении $$1:2$$, считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усеченной пирамиды равна $$4\ \text{дм}$$, а площадь ее полной поверхности равна $$186\ \text{дм}^2$$. Найдите высоту усеченной пирамиды.

Обозначим сторону меньшего основания усечённой пирамиды через $$x$$. Тогда сторона большего основания равна $$3x$$, так как плоскость делит высоту пирамиды в отношении $$1:2$$, считая от вершины, а значит, линейные размеры сечений относятся как $$1:3$$.

Площадь полной поверхности усечённой пирамиды равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности:

$$S= x^2+(3x)^2+4\cdot \frac{x+3x}{2}\cdot 4=186.$$

Получаем:

$$x^2+9x^2+4\cdot 2x\cdot 4=186,$$
$$10x^2+32x-186=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=32^2-4\cdot 10\cdot(-186)=1024+7440=8464=92^2,$$
$$x=\frac{-32+92}{20}=3.$$

Значит, сторона меньшего основания равна $$3$$ дм, а большего — $$9$$ дм.

Теперь найдём высоту усечённой пирамиды. Рассмотрим осевое сечение. В нём апофема $$4$$ дм, а половина разности оснований равна

$$\frac{9-3}{2}=3.$$

По теореме Пифагора:

$$h^2+3^2=4^2,$$
$$h^2=16-9=7.$$

Следовательно, высота усечённой пирамиды равна

$$\sqrt{7}$$ дм.