Упр.267 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Докажите, что боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

Подробный ответ

Рассмотрим плоскость $$AOK$$, проходящую через высоту пирамиды $$KO$$ и любое боковое ребро, например $$KA$$. Эта плоскость пересекает основание пирамиды по прямой $$OA$$.

Пусть плоскость $$\alpha$$ пересекает ребро $$KA$$ в точке $$A_1$$, а высоту $$KO$$ — в точке $$O_1$$. Так как $$\alpha \parallel ABCDEF$$, то в плоскости $$AOK$$ имеем

$$O_1A_1 \parallel OA.$$

Следовательно, в треугольнике $$KOA$$ прямая $$O_1A_1$$ параллельна стороне $$OA$$. По теореме Фалеса

$$\frac{KA_1}{KA}=\frac{KO_1}{KO}.$$

Аналогично для любого другого бокового ребра пирамиды, например $$KB$$, если плоскость $$\alpha$$ пересекает его в точке $$B_1$$, то в плоскости $$KOB$$ получаем

$$\frac{KB_1}{KB}=\frac{KO_1}{KO}.$$

Значит, все боковые рёбра пирамиды делятся плоскостью $$\alpha$$ в одном и том же отношении, равном отношению, в котором эта плоскость делит высоту пирамиды. Итак, боковые рёбра и высота пирамиды делятся плоскостью $$\alpha$$ на пропорциональные части.