Упр.267 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Докажите, что боковые рёбра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

Рассмотрим любое боковое ребро пирамиды, например $$KA$$, и высоту $$KO$$. Пусть плоскость $$\alpha$$ пересекает ребро $$KA$$ в точке $$A_1$$, а высоту $$KO$$ — в точке $$O_1$$.

Так как $$\alpha \parallel ABCDEF$$, то в плоскости $$KAO$$ отрезок $$O_1A_1$$ параллелен отрезку $$OA$$, поскольку обе прямые лежат в плоскостях, параллельных основанию пирамиды.

Следовательно, в треугольнике $$KAO$$ прямая $$O_1A_1$$ параллельна стороне $$OA$$. По теореме Фалеса получаем:

$$\frac{KA_1}{AA_1}=\frac{KO_1}{O_1O}$$

или, что то же самое, соответствующие части бокового ребра и высоты пирамиды делятся плоскостью $$\alpha$$ в одном и том же отношении.

Значит, боковые рёбра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.