Упр.266 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые ребра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.

Обозначим основание пирамиды $ABCD$, где $AB=8$ дм, $BC=6$ дм, а высота пирамиды $KO=2$ дм. Так как боковые рёбра равны, то вершина $K$ проектируется в центр прямоугольника $O$ — точку пересечения диагоналей.

Найдём диагональ основания:

$$BD=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10.$$

Следовательно,

$$BO=\frac{BD}{2}=5.$$

Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через диагональ основания и параллельной боковому ребру. Это сечение — треугольник, подобный треугольнику, образованному соответствующими отрезками на боковых рёбрах. Найдём его стороны.

В прямоугольном треугольнике $KBO$:

$$BK=\sqrt{BO^2+KO^2}=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}.$$

Так как сечение проходит через диагональ основания и параллельно боковому ребру, его стороны выражаются через найденные отрезки, а площадь удобно найти по формуле Герона. Для этого сначала найдём две боковые стороны сечения:

$$AH=\frac{\sqrt{101}}{2}, \qquad CH=\frac{\sqrt{157}}{2}.$$

Тогда стороны треугольника сечения равны

$$a=\frac{\sqrt{101}}{2}, \qquad b=\frac{\sqrt{157}}{2}, \qquad c=10.$$

Полупериметр:

$$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{\sqrt{101}}{4}+\frac{\sqrt{157}}{4}+5.$$

По формуле Герона:

$$ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=13. $$

Ответ: $13$ дм$^2$.