Упр.266 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды, высота которой равна $$2\ \text{дм}$$, а боковые ребра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами $$6\ \text{дм}$$ и $$8\ \text{дм}$$. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.

Подробный ответ

Обозначим через $$K$$ вершину пирамиды, а через $$O$$ — центр прямоугольника $$ABCD$$, то есть точку пересечения его диагоналей. Так как боковые рёбра пирамиды равны, то $$KA=KB=KC=KD$$, значит, вершина $$K$$ лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проведённом через точку $$O$$. Следовательно, $$KO=2$$ дм.

Найдём диагональ основания:

$$AC=BD=\sqrt{6^2+8^2}=10$$

Тогда

$$OA=OB=OC=OD=\frac{10}{2}=5.$$

Плоскость сечения проходит через диагональ основания $$AC$$ и параллельна боковому ребру $$BK$$. Поэтому в сечении получаем треугольник $$ACH$$, где точка $$H$$ лежит на ребре $$KD$$, а $$AH \parallel BK$$.

Рассмотрим треугольник $$KBO$$. Он прямоугольный, так как $$KO \perp ABCD$$:

$$BK=\sqrt{BO^2+KO^2}=\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}.$$

Так как $$AH \parallel BK$$, то треугольники $$AOH$$ и $$BOK$$ подобны, откуда

$$\frac{AH}{BK}=\frac{AO}{BO}=1,$$

значит, $$AH=BK=\sqrt{29}$$.

Аналогично, из подобия треугольников $$COH$$ и $$DOK$$ получаем $$CH=BK=\sqrt{29}$$.

Теперь в треугольнике $$ACH$$ известны стороны:

$$AC=10,\quad AH=CH=\sqrt{29}.$$

Найдём его площадь по формуле Герона:

$$p=\frac{10+\sqrt{29}+\sqrt{29}}{2}=5+\sqrt{29}.$$

$$S_{ACH}=\sqrt{p(p-10)(p-\sqrt{29})(p-\sqrt{29})}$$

$$S_{ACH}=\sqrt{(5+\sqrt{29})(\sqrt{29}-5)\cdot 5\cdot 5} =\sqrt{25(29-25)}=13.$$