Упр.265 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Через сторону основания проведена плоскость под углом 30° к плоскости основания. Найдите площадь получившегося сечения, если сторона основания пирамиды равна 12 см.
Пусть $$ABC$$ — основание правильной треугольной пирамиды, $$AB=BC=CA=12$$ см. Обозначим через $$K$$ и $$H$$ точки пересечения секущей плоскости с рёбрами $$AC$$ и $$AB$$ соответственно. Тогда сечение — треугольник $$AKH$$.
Так как плоскость сечения проходит через сторону основания $$AC$$ и образует с плоскостью основания угол $$30^\circ$$, то линейный угол двугранного угла при ребре $$AC$$ равен $$30^\circ$$. Следовательно, в плоскости основания и в секущей плоскости проведены перпендикуляры к $$AC$$, образующие угол $$30^\circ$$.
Пусть $$CH \perp AB$$ и $$KH \perp AB$$. Тогда $$CH$$ — высота равностороннего треугольника $$ABC$$, а $$KH$$ — высота треугольника $$AKH$$ к основанию $$AK$$. Из равенства углов получаем:
$$\angle CHK=30^\circ.$$
В равностороннем треугольнике $$ABC$$
$$CH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CHK$$. Тогда
$$KH=CH\cos 30^\circ=6\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=9.$$
Теперь найдём площадь сечения:
$$S_{AKH}=\frac{1}{2}\cdot AK\cdot KH=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 9=54.$$
Ответ: $$54\text{ см}^2$$.
