Упр.264 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона её основания равна $$a$$, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведённого через вершину пирамиды и большую диагональ основания.
Пусть $$O$$ — центр правильного шестиугольника основания, $$K$$ — вершина пирамиды. Обозначим через $$r$$ радиус вписанной окружности основания, а через $$R$$ — радиус описанной окружности.
Тогда площадь боковой грани $$KAB$$ равна
$$S_{KAB}=\frac12\cdot AB\cdot KH=\frac12\cdot a\cdot KH,$$
где $$H$$ — середина ребра $$AB$$. В прямоугольном треугольнике $$KOH$$ имеем
$$KH=\sqrt{KO^2+OH^2}=\sqrt{KO^2+r^2}.$$
Сечение, проведённое через вершину пирамиды и большую диагональ основания, — это треугольник с основанием, равным большой диагонали правильного шестиугольника. Пусть это сечение проходит через диагональ $$AD$$. Тогда
$$S_{KAD}=\frac12\cdot AD\cdot KO=\frac12\cdot 2R\cdot KO=R\cdot KO.$$
По условию $$S_{KAB}=S_{KAD}$$, значит
$$\frac12 a\sqrt{KO^2+r^2}=R\cdot KO.$$
Для правильного шестиугольника
$$R=a,\qquad r=\frac{\sqrt3}{2}a.$$
Подставим:
$$\frac12 a\sqrt{KO^2+\frac{3a^2}{4}}=a\cdot KO.$$
Сократим на $$a$$ и возведём в квадрат:
$$\frac14\left(KO^2+\frac{3a^2}{4}\right)=KO^2,$$
$$KO^2+\frac{3a^2}{4}=4KO^2,$$
$$3KO^2=\frac{3a^2}{4},$$
$$KO=\frac a2.$$
Теперь найдём площадь одной боковой грани:
$$KH=\sqrt{KO^2+r^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}}=a,$$
$$S_{KAB}=\frac12\cdot a\cdot a=\frac{a^2}{2}.$$
Боковых граней у правильной шестиугольной пирамиды 6, поэтому
$$S_{\text{бок}}=6\cdot \frac{a^2}{2}=3a^2.$$
Ответ
$$3a^2$$
