Упр.264 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона ее основания равна а, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведенного через вершину пирамиды и большую диагональ основания.
Обозначим через $$O$$ центр правильного шестиугольника основания, а через $$K$$ — вершину пирамиды. Пусть $$A$$ и $$D$$ — концы большей диагонали основания, тогда $$AD=2a$$.
Площадь боковой грани $$KAB$$ равна
$$S_{KAB}=\frac12\cdot AB\cdot KH=\frac12\cdot a\cdot KH,$$
где $$KH$$ — высота боковой грани.
Площадь сечения, проведённого через вершину пирамиды и большую диагональ основания, равна площади треугольника $$KAD$$:
$$S_{KAD}=\frac12\cdot AD\cdot KO=\frac12\cdot 2a\cdot KO=a\cdot KO.$$
По условию $$S_{KAB}=S_{KAD}$$, значит
$$\frac12\cdot a\cdot KH=a\cdot KO,$$
откуда
$$KH=2KO.$$
Теперь выразим $$KH$$ через $$KO$$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до вершины равно стороне, то есть
$$OA=a.$$
В прямоугольном треугольнике $$KOH$$ имеем
$$KH^2=KO^2+OH^2,$$
а так как $$OH$$ — радиус вписанной окружности правильного шестиугольника, то
$$OH=\frac{\sqrt3}{2}a.$$
Подставим $$KH=2KO$$:
$$ (2KO)^2=KO^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}a\right)^2 $$
$$ 4KO^2=KO^2+\frac34a^2 $$
$$ 3KO^2=\frac34a^2 $$
$$ KO^2=\frac{a^2}{4}, \qquad KO=\frac a2. $$
Тогда
$$KH=2KO=a.$$
Следовательно, площадь одной боковой грани:
$$S_{KAB}=\frac12\cdot a\cdot a=\frac{a^2}{2}.$$
Боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды состоит из 6 равных граней, значит
$$S_{\text{бок}}=6\cdot \frac{a^2}{2}=3a^2.$$
Ответ
$$3a^2$$