Упр.263 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильной пирамиде $$MABCD$$ точки $$K$$, $$L$$ и $$N$$ лежат соответственно на рёбрах $$BC$$, $$MC$$ и $$AD$$, причём $$KN\parallel BA$$, $$KL\parallel BM$$. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью $$KLN$$ и определите вид сечения; б) Докажите, что плоскость $$KLN$$ параллельна плоскости $$AMB$$.

Подробный ответ

Так как $$KL \parallel MB$$ и $$KN \parallel AB,$$ то прямые $$KL$$ и $$KN$$ лежат в плоскости $$KLN$$ и соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $$MB$$ и $$AB$$ плоскости $$AMB$$. Следовательно, по признаку параллельности плоскостей

$$KLN \parallel AMB.$$

Теперь рассмотрим сечение пирамиды плоскостью $$KLN$$. Плоскость пересекает грани пирамиды по отрезкам:

$$KL$$ — в грани $$MBC$$;
$$LN$$ — в грани $$MAD$$;
$$KN$$ — в основании $$ABCD$$;
четвёртая сторона сечения проходит через точку $$P$$ на ребре $$MD$$ и соединяет точки $$L$$ и $$P$$, $$P$$ и $$N$$.

Так как $$KL \parallel MB$$ и $$KN \parallel AB,$$ то четырёхугольник $$KLON$$ является параллелограммом, а искомое сечение имеет вид четырёхугольника $$KLPN$$. При этом $$KL \parallel PN$$, значит сечение — трапеция.

Ответ: сечение $$KLPN$$ — трапеция; $$KLN \parallel AMB.$$