Упр.262 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что плоскость, проходящая через высоту правильной пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна к плоскости боковой грани.

Пусть $$DO$$ — высота правильной пирамиды, а $$CH$$ — высота боковой грани $$DBC$$. Тогда нужно доказать, что плоскость $$DCH$$ перпендикулярна плоскости боковой грани $$ABD$$.

Так как пирамида правильная, то основание $$ABC$$ — равносторонний треугольник, а боковые рёбра равны:

$$AB=BC=CA,\qquad DA=DB=DC.$$

Из $$DO\perp (ABC)$$ следует, что $$DO\perp AB$$ и $$DO\perp BC$$.

В равностороннем треугольнике $$ABC$$ высота $$AK$$, проведённая к стороне $$BC$$, является также медианой. Поэтому точка $$O$$ — центр треугольника $$ABC$$ — лежит на $$AK$$, а значит, $$AK\perp BC$$.

Рассмотрим плоскость $$ADK$$. В ней лежат прямые $$AK$$ и $$DO$$, причём

$$AK\perp BC,\qquad DO\perp BC.$$

Следовательно, прямая $$BC$$ перпендикулярна плоскости $$ADK$$.

Так как $$CH$$ — высота грани $$DBC$$, то $$CH\perp DB$$. Кроме того, $$CH\perp BC$$ по определению высоты в треугольнике $$DBC$$.

Значит, прямая $$CH$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$DB$$ и $$BC$$, лежащим в плоскости $$ABD$$. Поэтому

$$CH\perp (ABD).$$

Поскольку $$CH\subset (DCH)$$, а плоскость $$DCH$$ содержит прямую, перпендикулярную плоскости $$ABD$$, то

$$(DCH)\perp (ABD).$$

Ответ: $$(DCH)\perp (ABD).$$