Упр.261 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — правильная треугольная пирамида, то есть основание $$ABC$$ — равносторонний треугольник, а $$DO \perp (ABC)$$, где $$O$$ — центр треугольника $$ABC$$.

Докажем, что скрещивающиеся рёбра пирамиды взаимно перпендикулярны. Достаточно показать, что одно из боковых рёбер перпендикулярно противоположному ребру основания.

Рассмотрим ребро $$DC$$ и сторону основания $$AB$$. В равностороннем треугольнике $$ABC$$ медиана $$CK$$, проведённая к стороне $$AB$$, является также высотой, значит $$CK \perp AB$$.

Так как пирамида правильная, то $$DA=DB=DC$$. Следовательно, точка $$D$$ равноудалена от вершин $$A$$ и $$B$$, а значит лежит в плоскости, проходящей через серединный перпендикуляр к $$AB$$. Аналогично, из равенства $$DA=DC$$ и $$DB=DC$$ получаем, что проекция точки $$D$$ на основание лежит на медиане $$CK$$. Поэтому прямая $$DC$$ перпендикулярна плоскости, содержащей $$AB$$ и $$CK$$.

Но прямая $$AB$$ лежит в этой плоскости, а $$CK \perp AB$$. Значит, $$DC \perp AB$$.

Аналогично доказывается, что $$AD \perp BC$$ и $$BD \perp AC$$. Следовательно, скрещивающиеся рёбра правильной треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны.