Упр.261 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны.

Пусть $$DABC$$ — правильная треугольная пирамида. Тогда основание $$ABC$$ — равносторонний треугольник, а $$DO \perp (ABC)$$, где $$O$$ — центр треугольника $$ABC$$.

Докажем, что скрещивающиеся рёбра пирамиды взаимно перпендикулярны. Достаточно показать, что одно из боковых рёбер перпендикулярно противоположному ребру основания, например $$DC \perp AB$$.

Так как $$ABC$$ — равносторонний треугольник, то медиана $$CK$$, проведённая к стороне $$AB$$, является также высотой:

$$CK \perp AB.$$

В правильной пирамиде точка $$O$$ — центр основания, значит, она лежит на медиане $$CK$$. Следовательно, прямая $$DO$$ лежит в плоскости $$DCK$$.

Кроме того, $$DO \perp (ABC)$$, а значит, $$DO \perp AB$$, поскольку $$AB$$ лежит в плоскости основания.

Итак, в плоскости $$DCK$$ две пересекающиеся прямые $$CK$$ и $$DO$$ перпендикулярны прямой $$AB$$. Следовательно, $$AB \perp (DCK)$$.

Так как $$DC$$ лежит в плоскости $$DCK$$, то из перпендикулярности прямой $$AB$$ этой плоскости получаем:

$$DC \perp AB.$$

Аналогично доказывается, что и другие скрещивающиеся рёбра правильной треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны.

Ответ: скрещивающиеся рёбра правильной треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны.