Упр.260 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильной треугольной пирамиде $$DABC$$ через боковое ребро $$DC$$ и высоту $$DO$$ пирамиды проведена плоскость $$\alpha$$. Докажите, что:
а) ребро $$AB$$ перпендикулярно к плоскости $$\alpha$$;
б) перпендикуляр, проведённый из вершины $$C$$ к апофеме грани $$ADB$$, является перпендикуляром к плоскости $$ADB$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$\alpha$$ плоскость, проведённую через ребро $$DC$$ и высоту $$DO$$ пирамиды.

Так как пирамида $$DABC$$ правильная, то основание $$ABC$$ — равносторонний треугольник, а точка $$O$$ является его центром. Следовательно, прямая $$CO$$ — медиана и высота треугольника $$ABC$$, значит

$$CO \perp AB.$$

Плоскость $$\alpha$$ содержит прямую $$DC$$ и высоту $$DO$$. Поскольку $$DO \perp (ABC)$$, то плоскость $$\alpha$$ перпендикулярна плоскости основания $$ABC$$. Их линия пересечения — прямая $$CO$$. В плоскости $$\alpha$$ через точку $$C$$ проведена прямая $$CO$$, перпендикулярная $$AB$$, значит

$$AB \perp \alpha.$$

Докажем теперь второе утверждение. Пусть $$CK$$ — перпендикуляр, опущенный из вершины $$C$$ на апофему грани $$ADB$$. В правильной пирамиде грань $$ADB$$ — равнобедренный треугольник с основанием $$AB$$, поэтому его апофема является также медианой, а значит проходит через середину $$AB$$ и перпендикулярна $$AB$$.

Так как $$AB \perp \alpha$$, то любая прямая плоскости $$\alpha$$, проходящая через точку пересечения с $$AB$$ и перпендикулярная $$AB$$, перпендикулярна плоскости $$ADB$$. Следовательно, прямая $$CK$$, будучи перпендикуляром к апофеме грани $$ADB$$, перпендикулярна и самой плоскости $$ADB$$.

Итак, $$AB \perp \alpha$$ и $$CK \perp (ADB).$$