Упр.26 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сторона $$AC$$ треугольника $$ABC$$ параллельна плоскости $$\alpha$$, а стороны $$AB$$ и $$BC$$ пересекаются с этой плоскостью в точках $$M$$ и $$N$$. Докажите, что треугольники $$ABC$$ и $$MBN$$ подобны.

Так как $$M \in AB$$ и $$N \in BC,$$ то прямая $$MN$$ лежит в плоскости $$ABC$$.

Плоскость $$\alpha$$ пересекает плоскость $$ABC$$ по прямой $$MN$$. При этом $$AC \parallel \alpha$$ и прямая $$AC$$ пересекает плоскость $$ABC$$, значит, по теореме о линии пересечения плоскостей

$$MN \parallel AC.$$

Тогда в плоскости треугольника $$ABC$$ прямая $$MN$$ параллельна стороне $$AC,$$ а значит, треугольники $$ABC$$ и $$MBN$$ подобны по двум углам:

$$\angle ABC = \angle MBN,$$

как угол между теми же прямыми $$AB$$ и $$BC,$$ и

$$\angle ACB = \angle MNB,$$

как соответственные углы при параллельных прямых $$AC \parallel MN.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle MBN.$$

Ответ: $$\triangle ABC \sim \triangle MBN.$$