Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.26 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Треугольник $$ABC$$ вписан в окружность радиуса $$12$$, $$AB=6$$ и $$BC=4$$. Найдите $$AC$$.

В треугольнике $$ABC$$, вписанном в окружность радиуса $$R=12$$, по теореме синусов имеем

$$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=2R=24.$$

Тогда

$$\sin \angle BAC=\frac{BC}{2R}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6},$$

$$\sin \angle ACB=\frac{AB}{2R}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}.$$

Найдём косинусы этих углов:

$$\cos \angle BAC=\sqrt{1-\sin^2 \angle BAC}=\sqrt{1-\frac{1}{36}}=\frac{\sqrt{35}}{6},$$

$$\cos \angle ACB=\pm\sqrt{1-\sin^2 \angle ACB}=\pm\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\pm\frac{\sqrt{15}}{4}.$$

Теперь используем формулу для синуса суммы:

$$\sin B=\sin(\angle BAC+\angle ACB)=\sin A\cos C+\cos A\sin C.$$

Подставим найденные значения:

$$\sin B=\frac{1}{6}\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}+\frac{\sqrt{35}}{6}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{35}}{24}.$$

Тогда

$$AC=2R\sin B=24\cdot \frac{\sqrt{15}+\sqrt{35}}{24}=\sqrt{35}+\sqrt{15}.$$

Из-за знака при $$\cos \angle ACB$$ возможен также второй вариант:

$$AC=\sqrt{35}-\sqrt{15}.$$

Ответ: $$\sqrt{35}+\sqrt{15}$$ или $$\sqrt{35}-\sqrt{15}$$.