Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.26 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Треугольник АВС вписан в окружность радиуса 12, АВ=6 и ВС=4. Найдите АС.

По теореме синусов для треугольника $$ABC$$, вписанного в окружность радиуса $$R=12$$, имеем:

$$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=2R=24.$$

Тогда

$$\sin \angle BAC=\frac{BC}{2R}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6},$$

$$\sin \angle ACB=\frac{AB}{2R}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}.$$

Найдём косинусы этих углов:

$$\cos \angle BAC=\sqrt{1-\sin^2 \angle BAC}=\sqrt{1-\frac{1}{36}}=\frac{\sqrt{35}}{6},$$

$$\cos \angle ACB=\pm \sqrt{1-\sin^2 \angle ACB}=\pm \sqrt{1-\frac{1}{16}}=\pm \frac{\sqrt{15}}{4}.$$

Теперь используем формулу для синуса суммы:

$$\sin B=\sin(\angle BAC+\angle ACB)=\sin \angle BAC \cos \angle ACB+\cos \angle BAC \sin \angle ACB.$$

Подставим найденные значения:

$$\sin B=\frac{1}{6}\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}+\frac{\sqrt{35}}{6}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{35}}{24}$$

или

$$\sin B=\frac{1}{6}\cdot \left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)+\frac{\sqrt{35}}{6}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{35}-\sqrt{15}}{24}.$$

Тогда по теореме синусов

$$AC=2R\sin B=24\sin B.$$

Следовательно,

$$AC=\sqrt{35}+\sqrt{15}$$

или

$$AC=\sqrt{35}-\sqrt{15}.$$

Ответ

$$\sqrt{35}+\sqrt{15}$$ или $$\sqrt{35}-\sqrt{15}$$.