Упр.26 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Сторона AC треугольника ABC параллельна плоскости а, a стороны AB и BC пересекаются с этой плоскостью в точках M и N. Докажите, что треугольники ABC и MBN подобны.

Подробный ответ

Так как точки $$M$$ и $$N$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, то прямая $$MN$$ принадлежит этой плоскости: $$MN \subset \alpha$$.

По условию $$AC \parallel \alpha$$. Поскольку прямая $$AC$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точках $$A$$ и $$C$$, то линия пересечения плоскостей $$ABC$$ и $$\alpha$$ проходит через точки $$M$$ и $$N$$ и параллельна прямой $$AC$$. Значит,

$$MN \parallel AC.$$

Теперь в треугольнике $$ABC$$ прямая $$MN$$ параллельна стороне $$AC$$ и пересекает стороны $$AB$$ и $$BC$$ в точках $$M$$ и $$N$$. Следовательно, углы при вершинах $$B$$ равны, а также

$$\angle BMN = \angle BAC,\qquad \angle BNM = \angle BCA.$$

По двум равным углам треугольники $$ABC$$ и $$MBN$$ подобны.