Упр.259 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна $$6\ \text{см}$$, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен $$60^\circ$$. Найдите боковое ребро пирамиды.

Пусть $$O$$ — центр основания правильной четырёхугольной пирамиды, $$E$$ — середина стороны основания. Тогда $$OE \perp AB$$ и $$KO \perp ABCD$$, поэтому угол наклона боковой грани к плоскости основания равен углу $$\angle KEO=60^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике $$KEO$$ имеем

$$\angle KOE=90^\circ,\qquad \angle KEO=60^\circ,$$

значит, $$\angle EKO=30^\circ$$. Так как $$AB=6\text{ см}$$, то

$$OE=\frac{AB}{2}=3\text{ см}.$$

Из треугольника $$KEO$$:

$$\cos 60^\circ=\frac{OE}{KE}$$

откуда

$$KE=\frac{OE}{\cos 60^\circ}=\frac{3}{1/2}=6\text{ см}.$$

Теперь найдём боковое ребро $$KA$$. В прямоугольном треугольнике $$KOA$$:

$$OA=\frac{AC}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{ см},$$

а также

$$KO=KE\sin 60^\circ=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ см}.$$

Тогда по теореме Пифагора

$$KA^2=KO^2+OA^2=(3\sqrt{3})^2+(3\sqrt{2})^2=27+18=45,$$

следовательно,

$$KA=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\text{ см}.$$

Ответ: $$3\sqrt{5}\text{ см}.$$