Упр.258 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды образует угол $$60^\circ$$ с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно $$12\ \text{см}$$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KAO$$, где $$O$$ — центр квадрата основания, а $$AO$$ лежит в плоскости основания. Так как боковое ребро $$KA=12$$ см и оно образует с плоскостью основания угол $$60^\circ$$, то
$$\angle KAO=60^\circ,$$
$$KO=KA\sin 60^\circ=12\cdot \frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3,$$
$$AO=KA\cos 60^\circ=12\cdot \frac12=6.$$
В квадрате $$ABCD$$ диагональ равна $$2AO$$, значит
$$AC=2AO=12,$$
$$AB=\frac{AC}{\sqrt2}=6\sqrt2.$$
Тогда площадь основания пирамиды:
$$S_{\text{осн}}=AB^2=(6\sqrt2)^2=72.$$
Найдём апофему боковой грани. Пусть $$E$$ — середина стороны основания, тогда $$OE=\frac{AB}{2}=3\sqrt2$$. В прямоугольном треугольнике $$KOE$$:
$$KE^2=KO^2+OE^2=(6\sqrt3)^2+(3\sqrt2)^2=108+18=126,$$
$$KE=3\sqrt{14}.$$
Площадь одной боковой грани:
$$S_{1}=\frac12\cdot AB\cdot KE=\frac12\cdot 6\sqrt2\cdot 3\sqrt{14}=18\sqrt7.$$
Боковых граней четыре, поэтому
$$S_{\text{бок}}=4S_{1}=72\sqrt7.$$
Полная поверхность пирамиды:
$$S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=72+72\sqrt7.$$
Ответ: $$72+72\sqrt7\ \text{см}^2.$$
