Упр.257 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Высота правильной треугольной пирамиды равна $$h$$, а двугранный угол при стороне основания равен $$45^\circ$$. Найдите площадь поверхности пирамиды.
Пусть $$ABC$$ — основание правильной треугольной пирамиды, $$D$$ — её вершина, $$O$$ — центр основания, $$DO=h$$. Обозначим через $$E$$ середину стороны $$BC$$. Тогда $$OE$$ перпендикулярен $$BC$$, а в правильной пирамиде $$DE$$ — апофема боковой грани.
Рассмотрим сечение плоскостью $$DOE$$. Двугранный угол при стороне основания равен углу $$\angle DEO$$, значит
$$\tan 45^\circ=\frac{DO}{OE}=\frac{h}{OE}.$$
Отсюда
$$OE=h.$$
Но в равностороннем треугольнике $$ABC$$ отрезок $$OE$$ — это радиус вписанной окружности, поэтому
$$OE=\frac{a\sqrt{3}}{6},$$
где $$a=BC$$ — сторона основания. Тогда
$$\frac{a\sqrt{3}}{6}=h \quad \Rightarrow \quad a=2\sqrt{3}\,h.$$
Найдём апофему $$DE$$ из прямоугольного треугольника $$DOE$$:
$$DE^2=DO^2+OE^2=h^2+h^2=2h^2,$$
значит
$$DE=\sqrt{2}\,h.$$
Теперь вычислим площадь поверхности пирамиды:
$$S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+3S_{\text{бок. грани}}.$$
Площадь основания:
$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(2\sqrt{3}\,h)^2\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}\,h^2.$$
Площадь одной боковой грани:
$$S_{\text{бок. грани}}=\frac{1}{2}\,a\cdot DE=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\,h\cdot \sqrt{2}\,h=\sqrt{6}\,h^2.$$
Тогда
$$S_{\text{полн}}=3\sqrt{3}\,h^2+3\sqrt{6}\,h^2=3h^2(\sqrt{3}+\sqrt{6}).$$
Ответ: $$3h^2(\sqrt{3}+\sqrt{6})$$.
