Упр.256 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $$m$$, а плоский угол при вершине равен $$\alpha$$. Найдите: а) высоту пирамиды; б) боковое ребро пирамиды; в) угол между боковой гранью и плоскостью основания; г) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

Обозначим вершину пирамиды через $$S$$, а центр квадрата основания — через $$O$$. Тогда $$SO\perp ABCD$$, а в правильной пирамиде $$SA=SB=SC=SD$$.

Диагональ квадрата основания равна $$m\sqrt2$$, значит

$$OA=\frac{m\sqrt2}{2}=\frac{m}{\sqrt2}.$$

Пусть $$SO=x$$, $$SA=y$$. Тогда из прямоугольного треугольника $$SOA$$:

$$y^2=x^2+\frac{m^2}{2}.$$

Плоский угол при вершине равен $$\alpha$$, то есть $$\angle ASB=\alpha$$. В треугольнике $$ASB$$ по теореме косинусов:

$$AB^2=SA^2+SB^2-2\cdot SA\cdot SB\cos\alpha,$$

$$m^2=2y^2-2y^2\cos\alpha=2y^2(1-\cos\alpha).$$

Отсюда

$$y^2=\frac{m^2}{2(1-\cos\alpha)},$$

$$SA=\frac{m}{\sqrt{2-2\cos\alpha}}.$$

Тогда высота пирамиды:

$$x^2=y^2-\frac{m^2}{2}=\frac{m^2}{2(1-\cos\alpha)}-\frac{m^2}{2} =\frac{m^2\cos\alpha}{2(1-\cos\alpha)},$$

$$SO=\frac{m}{\sqrt2}\sqrt{\frac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}.$$

Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен двугранному углу при ребре основания. Рассмотрим грань $$SAB$$ и проведём в ней высоту $$SM$$, где $$M$$ — середина $$AB$$. Тогда $$OM\perp AB$$, и искомый угол равен $$\angle SMO$$.

В прямоугольном треугольнике $$SOM$$:

$$OM=\frac{m}{2},$$

$$\tan\angle SMO=\frac{SO}{OM}=\frac{\frac{m}{\sqrt2}\sqrt{\frac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}}{m/2} =\sqrt{\frac{2\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}.$$

Следовательно,

$$\angle(\text{боковая грань},\ \text{основание})=\arctan\sqrt{\frac{2\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}.$$

Для двугранного угла при боковом ребре рассмотрим ребро $$SA$$. Пусть $$N$$ — середина $$AB$$, тогда в грани $$SAB$$ прямая $$SN$$ перпендикулярна $$AB$$, а в основании прямая $$ON\perp AB$$. Искомый двугранный угол равен углу между прямыми $$SN$$ и $$ON$$, то есть $$\angle SNO$$.

Из треугольника $$SAB$$:

$$SN=\sqrt{SA^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{m^2}{2(1-\cos\alpha)}-\frac{m^2}{4}} =\frac{m}{2}\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SNO$$:

$$ON=\frac{m}{2},$$

$$\cos\angle SNO=\frac{ON}{SN} =\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}.$$

Значит,

$$\angle(\text{двугранный угол при боковом ребре})=\arccos\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}.$$

Ответ

$$SO=\frac{m}{\sqrt2}\sqrt{\frac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}},\qquad SA=\frac{m}{\sqrt{2-2\cos\alpha}},$$
$$\angle(\text{боковая грань},\text{основание})=\arctan\sqrt{\frac{2\cos\alpha}{1-\cos\alpha}},$$
$$\angle(\text{при боковом ребре})=\arccos\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}.$$