Упр.256 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна m, а плоский угол при вершине равен а. Найдите: а) высоту пирамиды; б) боковое ребро пирамиды; в) угол между боковой гранью и плоскостью основания; г) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

Обозначим через $$O$$ центр квадрата основания, а через $$M$$ — середину стороны основания. Тогда $$KO \perp ABCD$$, а в правильной пирамиде $$KA=KB=KC=KD$$.

Пусть $$AB=m$$, $$\angle AKB=\alpha$$. Найдём сначала боковое ребро $$KA$$.

В треугольнике $$AKB$$ по теореме косинусов:

$$ AB^2=KA^2+KB^2-2\cdot KA\cdot KB\cos\alpha $$

Так как $$KA=KB$$, получаем

$$ m^2=2KA^2(1-\cos\alpha), \qquad KA=\frac{m}{\sqrt{2-2\cos\alpha}}. $$

Теперь найдём высоту пирамиды $$KO$$. В квадрате диагональ равна $$m\sqrt2$$, значит

$$ OA=\frac{m\sqrt2}{2}=\frac{m}{\sqrt2}. $$

В прямоугольном треугольнике $$AOK$$:

$$ KA^2=KO^2+OA^2. $$

Тогда

$$ KO^2=KA^2-OA^2 =\frac{m^2}{2-2\cos\alpha}-\frac{m^2}{2} =\frac{m^2\cos\alpha}{2(1-\cos\alpha)}. $$

Следовательно,

$$ KO=\frac{m}{\sqrt2}\sqrt{\frac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}. $$

Найдём угол между боковой гранью и плоскостью основания. Это двугранный угол при стороне основания, например при ребре $$AB$$. Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через вершину $$K$$, центр основания $$O$$ и середину ребра $$AB$$, то есть через точки $$K,O,M$$. Тогда $$OM\perp AB$$, а $$KM$$ лежит в боковой грани и перпендикулярен $$AB$$. Поэтому искомый угол равен $$\angle KMO$$.

В прямоугольном треугольнике $$KOM$$:

$$ OM=\frac{m}{2}, \qquad KO=\frac{m}{\sqrt2}\sqrt{\frac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}. $$

Тогда

$$ \tan \angle KMO=\frac{KO}{OM} =\sqrt{\frac{2\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}. $$

Значит,

$$ \angle KMO=\arctan\sqrt{\frac{2\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}. $$

Теперь найдём двугранный угол при боковом ребре, например при ребре $$KA$$. Обозначим его через $$\varphi$$. Рассмотрим плоскость, проходящую через высоту $$KO$$ и перпендикулярную ребру $$KA$$. В этой плоскости двугранный угол равен углу между прямыми, перпендикулярными $$KA$$ в гранях $$KAB$$ и $$KAD$$. Из симметрии получаем, что этот угол можно выразить через угол в равнобедренном треугольнике $$KAB$$.

В треугольнике $$KAB$$:

$$ \cos\alpha=\frac{2KA^2-AB^2}{2KA^2}. $$

Подставляя $$KA^2=\dfrac{m^2}{2-2\cos\alpha}$$, получаем для двугранного угла при боковом ребре:

$$ \cos\varphi=\frac{\cos\alpha-1}{\cos\alpha+1}. $$

Следовательно,

$$ \varphi=\arccos\frac{\cos\alpha-1}{\cos\alpha+1}. $$

Ответ

а) $$KO=\dfrac{m}{\sqrt2}\sqrt{\dfrac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$$;
б) $$KA=\dfrac{m}{\sqrt{2-2\cos\alpha}}$$;
в) $$\angle KMO=\arctan\sqrt{\dfrac{2\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$$;
г) $$\varphi=\arccos\dfrac{\cos\alpha-1}{\cos\alpha+1}$$.