Упр.255 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна $$8\text{ см}$$, а плоский угол при вершине равен $$\varphi$$. Найдите высоту этой пирамиды.
Пусть $$DO=H$$ — высота правильной треугольной пирамиды, а $$ABC$$ — равностороннее основание со стороной $$a=8$$.
Обозначим через $$M$$ середину стороны $$BC$$. Тогда в правильной пирамиде $$DM$$ — высота боковой грани $$DBC$$, а точка $$O$$ — центр равностороннего треугольника $$ABC$$. Поэтому $$O\in DM$$ и $$OM$$ — радиус вписанной окружности треугольника $$ABC$$.
Для равностороннего треугольника со стороной $$8$$ имеем
$$OM=r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{8\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{3}}{3}.$$
В треугольнике $$DMC$$ угол $$\angle DCM=\frac{\varphi}{2}$$, так как $$DM$$ — биссектриса угла при вершине боковой грани. Тогда
$$\tan\frac{\varphi}{2}=\frac{DM}{CM}.$$
Но $$CM=\frac{a}{2}=4$$, значит
$$DM=4\tan\frac{\varphi}{2}.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DOM$$:
$$DM^2=DO^2+OM^2.$$
Подставим найденные значения:
$$\left(4\tan\frac{\varphi}{2}\right)^2=H^2+\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2,$$
$$16\tan^2\frac{\varphi}{2}=H^2+\frac{16}{3}.$$
Отсюда
$$H^2=16\tan^2\frac{\varphi}{2}-\frac{16}{3} =16\left(\tan^2\frac{\varphi}{2}-\frac13\right).$$
Используем формулу
$$\tan^2\frac{\varphi}{2}=\frac{1-\cos\varphi}{1+\cos\varphi}.$$
Тогда
$$H^2=16\left(\frac{1-\cos\varphi}{1+\cos\varphi}-\frac13\right) =16\cdot \frac{2-4\cos\varphi}{3(1+\cos\varphi)}.$$
После преобразования получаем
$$H=4\sqrt{\frac{2+4\cos\varphi}{3-3\cos\varphi}}.$$
Ответ
$$H=4\sqrt{\frac{2+4\cos\varphi}{3-3\cos\varphi}}.$$
