Упр.254 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна $$a$$, высота равна $$H$$. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский угол при вершине пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды; г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды; д) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.
Обозначим через $$O$$ центр основания правильной треугольной пирамиды. Тогда $$DO\perp ABC$$ и $$DO=H$$. В равностороннем треугольнике $$ABC$$ со стороной $$a$$ имеем
$$OB=R=\frac{a}{\sqrt{3}}, \qquad r=\frac{a}{2\sqrt{3}}.$$
а) Боковое ребро пирамиды
В прямоугольном треугольнике $$DOB$$:
$$DB=\sqrt{DO^2+OB^2}=\sqrt{H^2+\frac{a^2}{3}}.$$
б) Плоский угол при вершине пирамиды
Плоский угол при вершине — это угол $$\angle CDB$$ в боковой грани $$DCB$$. По теореме косинусов для треугольника $$DCB$$:
$$\cos \angle CDB= \frac{DC^2+DB^2-BC^2}{2\cdot DC\cdot DB} = \frac{2\left(H^2+\frac{a^2}{3}\right)-a^2}{2\left(H^2+\frac{a^2}{3}\right)} = \frac{6H^2-a^2}{6H^2+2a^2}.$$
в) Угол между боковым ребром и плоскостью основания
Это угол $$\angle DBO$$. В прямоугольном треугольнике $$DOB$$:
$$\tan \angle DBO=\frac{DO}{OB}=\frac{H}{a/\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\,H}{a}.$$
г) Угол между боковой гранью и основанием пирамиды
Рассмотрим двугранный угол при ребре $$BC$$. Пусть $$E$$ — середина $$BC$$. Тогда $$OE\perp BC$$, а в боковой грани $$DBC$$ прямая $$DE\perp BC$$. Следовательно, угол между гранью $$DBC$$ и основанием равен $$\angle DEO$$.
В равностороннем треугольнике $$ABC$$:
$$OE=r=\frac{a}{2\sqrt{3}}, \qquad DE=\sqrt{DO^2+OE^2}=\sqrt{H^2+\frac{a^2}{12}}.$$
Тогда в прямоугольном треугольнике $$DOE$$:
$$\tan \angle DEO=\frac{DO}{OE}=\frac{H}{a/(2\sqrt{3})}=\frac{2\sqrt{3}\,H}{a}.$$
д) Двугранный угол при боковом ребре пирамиды
Пусть $$F$$ — середина ребра $$AB$$. Тогда $$OF\perp AB$$, а в грани $$DAB$$ отрезок $$DF\perp AB$$. Значит, двугранный угол при ребре $$AB$$ равен углу $$\angle DFO$$.
Найдём $$OF$$ и $$DF$$:
$$OF=r=\frac{a}{2\sqrt{3}},$$
$$DF=\sqrt{DO^2+OF^2}=\sqrt{H^2+\frac{a^2}{12}}.$$
В треугольнике $$DFO$$:
$$\cos \angle DFO=\frac{DF^2+OF^2-DO^2}{2\cdot DF\cdot OF}.$$
Подставляя значения, получаем
$$\cos \angle DFO= \frac{\left(H^2+\frac{a^2}{12}\right)+\frac{a^2}{12}-H^2}{2\sqrt{H^2+\frac{a^2}{12}}\cdot \frac{a}{2\sqrt{3}}} = \frac{a}{\sqrt{3}\sqrt{H^2+\frac{a^2}{12}}}.$$
Следовательно, двугранный угол при боковом ребре можно найти по формуле
$$\cos \varphi=\frac{a}{\sqrt{3}\sqrt{H^2+\frac{a^2}{12}}}.$$
Ответ: а) $$\sqrt{H^2+\frac{a^2}{3}}$$; б) $$\cos \angle CDB=\frac{6H^2-a^2}{6H^2+2a^2}$$; в) $$\tan \angle DBO=\frac{\sqrt{3}\,H}{a}$$; г) $$\tan \angle DEO=\frac{2\sqrt{3}\,H}{a}$$; д) $$\cos \varphi=\frac{a}{\sqrt{3}\sqrt{H^2+\frac{a^2}{12}}}$$.
