Упр.253 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями $$6\text{ см}$$ и $$4\text{ Тб см}$$ и высотой $$5\text{ см}$$. Каждое боковое ребро пирамиды равно $$13\text{ см}$$. Найдите её высоту.

Обозначим основание пирамиды через $$ABCD$$, где $$AB \parallel CD$$, $$AB=4\sqrt{6}$$ см, $$CD=6$$ см, высота трапеции $$CH=5$$ см, а боковые рёбра пирамиды равны $$13$$ см.

Так как трапеция равнобедренная, то

$$BH=\frac{AB-CD}{2}=\frac{4\sqrt{6}-6}{2}=2\sqrt{6}-3,$$

следовательно,

$$AH=AB-BH=4\sqrt{6}-(2\sqrt{6}-3)=2\sqrt{6}+3.$$

Найдём диагонали трапеции по теореме Пифагора:

$$BC=\sqrt{BH^2+CH^2}=\sqrt{(2\sqrt{6}-3)^2+25}=\sqrt{58-12\sqrt{6}}=3\sqrt{6}-2,$$

$$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{(2\sqrt{6}+3)^2+25}=\sqrt{58+12\sqrt{6}}=3\sqrt{6}+2.$$

Площадь трапеции:

$$S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot CH=\frac{4\sqrt{6}+6}{2}\cdot 5.$$

Радиус окружности, описанной около трапеции, найдём по формуле для треугольника $$ABC$$:

$$R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S_{ABC}}.$$

Так как $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH$$, то

$$R=\frac{BC\cdot AC}{2\cdot CH}=\frac{(3\sqrt{6}-2)(3\sqrt{6}+2)}{2\cdot 5}=\frac{54-4}{10}=5.$$

Пусть $$O$$ — центр этой окружности, а $$K$$ — вершина пирамиды. Тогда в прямоугольном треугольнике $$KOA$$

$$KO=\sqrt{KA^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12.$$

Ответ: $$12$$ см.