Упр.252 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основанием пирамиды $$DABC$$ является равнобедренный треугольник $$ABC$$, в котором стороны $$AB$$ и $$AC$$ равны, $$BC = 6$$ см, высота $$AH$$ равна $$9$$ см. Известно также, что $$DA = DB = DC = 13$$ см. Найдите высоту пирамиды.

Так как $$DA=DB=DC,$$ то точка $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC,$$ а $$DO$$ — высота пирамиды.

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ высота $$AH$$, проведённая к основанию $$BC,$$ является также медианой, значит

$$BH=HC=\frac{BC}{2}=3\text{ см}.$$

По теореме Пифагора в треугольнике $$AHC$$:

$$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\text{ см}.$$

Найдём площадь треугольника $$ABC$$ по формуле Герона. Его стороны:

$$BC=6,\quad AB=AC=3\sqrt{10}.$$

Полупериметр:

$$p=\frac{6+3\sqrt{10}+3\sqrt{10}}{2}=3+3\sqrt{10}.$$

Тогда

$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-BC)(p-AB)(p-AC)} =\sqrt{(3+3\sqrt{10})\cdot(3\sqrt{10}-3)\cdot 3\cdot 3} =27\text{ см}^2.$$

Для треугольника $$ABC$$ используем формулу площади через радиус описанной окружности:

$$S_{ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4R}.$$

Отсюда

$$R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S_{ABC}} =\frac{3\sqrt{10}\cdot 6\cdot 3\sqrt{10}}{4\cdot 27} =\frac{540}{108}=5\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DOA$$:

$$DO=\sqrt{DA^2-OA^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}.$$

Ответ: $$12\text{ см}.$$