Упр.250 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120°. Боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см, углы в 45°. Найдите площадь основания пирамиды.

Обозначим вершину пирамиды через $$D$$, а основание — равнобедренный треугольник $$ABC$$, где $$AB=BC$$ и $$\angle ABC=120^\circ$$. Пусть $$O$$ — основание высоты пирамиды, тогда $$DO\perp (ABC)$$ и $$DO=16$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DAO$$. По условию угол между боковым ребром и высотой равен $$45^\circ$$, значит $$\angle DAO=45^\circ$$. Тогда треугольник $$DAO$$ — равнобедренный прямоугольный, поэтому

$$OA=DO=16\text{ см}.$$

Точка $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$, следовательно, его радиус описанной окружности равен

$$R=OA=16\text{ см}.$$

Теперь найдём площадь основания через радиус описанной окружности и угол треугольника. Для любого треугольника

$$S=\frac{abc}{4R}.$$

Сначала найдём сторону $$AC$$ по теореме косинусов:

$$ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^\circ $$

Так как $$AB=BC=x$$, получаем

$$ AC^2=x^2+x^2-2x^2\cdot\left(-\frac12\right)=3x^2, $$

то есть $$AC=\sqrt3\,x$$.

По теореме синусов для $$\triangle ABC$$:

$$ \frac{AC}{\sin 120^\circ}=2R. $$

Подставим $$AC=\sqrt3\,x$$ и $$\sin 120^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$$:

$$ \frac{\sqrt3\,x}{\sqrt3/2}=2R \quad \Rightarrow \quad 2x=2R \quad \Rightarrow \quad x=R. $$

Значит, $$AB=BC=R=16$$ см, а

$$AC=\sqrt3\cdot 16=16\sqrt3\text{ см}.$$

Тогда площадь основания:

$$ S_{ABC}=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4R} =\frac{16\cdot 16\cdot 16\sqrt3}{4\cdot 16} =64\sqrt3\text{ см}^2. $$

Ответ

$$64\sqrt3\text{ см}^2$$