Упр.250 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом $$120^\circ$$. Боковые рёбра образуют с её высотой, равной $$16\ \text{см}$$, углы в $$45^\circ$$. Найдите площадь основания пирамиды.

Обозначим основание пирамиды через $$ABC$$, а её вершину — через $$D$$. Пусть $$O$$ — основание высоты $$DO$$, тогда $$DO \perp (ABC)$$ и $$DO=16$$ см.

Так как боковые рёбра образуют с высотой одинаковые углы $$45^\circ$$, то треугольники $$DAO$$, $$DBO$$ и $$DCO$$ прямоугольные и имеют по одному острому углу $$45^\circ$$. Значит, они равнобедренные, поэтому

$$OA=OB=OC=DO=16$$ см.

Следовательно, точка $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$, а её радиус равен $$R=16$$ см.

Теперь найдём площадь основания. Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, $$AB=BC$$, $$\angle ABC=120^\circ$$. По теореме косинусов:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos120^\circ$$
$$AC^2=x^2+x^2-2x^2\cdot\left(-\frac12\right)=3x^2,$$
то есть $$AC=\sqrt3\,x$$.

По теореме синусов для треугольника $$ABC$$:

$$\frac{AC}{\sin120^\circ}=2R$$
$$\frac{\sqrt3\,x}{\frac{\sqrt3}{2}}=2R$$
$$2x=2R \Rightarrow x=R=16.$$

Тогда

$$AB=BC=16,\qquad AC=16\sqrt3.$$

Площадь основания:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin120^\circ =\frac12\cdot 16\cdot 16\cdot \frac{\sqrt3}{2} =64\sqrt3.$$

Ответ: $$64\sqrt3\ \text{см}^2$$.