Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.25 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Около треугольника ABC описана окружность с центром O, $$\angle AOC=60^\circ$$. В треугольник ABC вписана окружность с центром M. Найдите $$\angle AMC$$.
Так как $$\angle AOC=60^\circ$$ — центральный угол, опирающийся на дугу $$AC$$, то вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального:
$$\angle ABC=\frac{\angle AOC}{2}=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.$$
Точка $$M$$ — центр вписанной окружности, значит, $$AM$$ и $$CM$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$. Тогда в треугольнике $$AMC$$
$$\angle AMC=180^\circ-\frac{\angle A+\angle C}{2}.$$
Но $$\angle A+\angle C=180^\circ-\angle B=180^\circ-30^\circ=150^\circ$$, поэтому
$$\angle AMC=180^\circ-\frac{150^\circ}{2}=180^\circ-75^\circ=105^\circ.$$
Если же рассматривать другой возможный вариант расположения точек на окружности, то соответствующий угол получается
$$\angle AMC=180^\circ-\frac{180^\circ-\angle B}{2}=180^\circ-15^\circ=165^\circ.$$
Ответ: $$105^\circ$$ или $$165^\circ$$.
