Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.25 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Около треугольника АВС описана окружность с центром О, угол АОС равен 60°. В треугольник АВС вписана окружность с центром М. Найдите угол АМС.

Так как $$\angle AOC=60^\circ$$ — центральный угол, опирающийся на дугу $$AC$$, то вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального:

$$\angle ABC=\frac{\angle AOC}{2}=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.$$

Точка $$M$$ — центр вписанной окружности, значит, $$AM$$ и $$CM$$ — биссектрисы углов $$A$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$. Тогда в треугольнике $$AMC$$

$$\angle AMC=180^\circ-\frac{\angle A+\angle C}{2}.$$

Но $$\angle A+\angle C=180^\circ-\angle B$$, поэтому

$$\angle AMC=180^\circ-\frac{180^\circ-\angle B}{2}.$$

Подставим $$\angle B=30^\circ$$:

$$\angle AMC=180^\circ-\frac{180^\circ-30^\circ}{2}=180^\circ-75^\circ=105^\circ.$$

Если же рассматривать второй возможный случай расположения точек на окружности, то соответствующий вписанный угол равен

$$\angle ABC=\frac{360^\circ-\angle AOC}{2}=\frac{360^\circ-60^\circ}{2}=150^\circ,$$

и тогда

$$\angle AMC=180^\circ-\frac{180^\circ-150^\circ}{2}=180^\circ-15^\circ=165^\circ.$$

Ответ

$$105^\circ$$ или $$165^\circ$$.