Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.25 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $$5$$, а основание равно $$6$$. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

Пусть $$AB=6$$ — основание равнобедренного треугольника $$ABC$$, а $$AC=BC=5$$.

Опустим высоту $$CH$$ на основание $$AB$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$H$$ — середина основания, значит

$$AH=\frac{AB}{2}=3.$$

В прямоугольном треугольнике $$ACH$$ найдем угол $$A$$:

$$\cos A=\frac{AH}{AC}=\frac{3}{5}.$$

Пусть $$O$$ — центр вписанной окружности. Тогда $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$, а расстояние от $$O$$ до стороны $$AB$$ равно радиусу $$r$$, то есть $$OH=r$$. В прямоугольном треугольнике $$AOH$$ имеем

$$\angle OAH=\frac{A}{2}.$$

Тогда

$$\tan^2\frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{1+\cos A}.$$

Подставим $$\cos A=\frac{3}{5}$$:

$$\tan^2\frac{A}{2}=\frac{1-\frac{3}{5}}{1+\frac{3}{5}}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{8}{5}}=\frac14,$$

значит

$$\tan\frac{A}{2}=\frac12.$$

В треугольнике $$AOH$$:

$$\tan\frac{A}{2}=\frac{OH}{AH},$$

откуда

$$OH=AH\cdot \tan\frac{A}{2}=3\cdot \frac12=1{,}5.$$

Следовательно, радиус вписанной окружности равен $$1{,}5$$.

Ответ: $$1{,}5$$.