Упр.249 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания; б) все боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.
Пусть $$S$$ — вершина пирамиды, а $$A_1,A_2,\dots,A_n$$ — вершины основания. Обозначим через $$O$$ проекцию точки $$S$$ на плоскость основания, то есть $$SO$$ — высота пирамиды.
Так как все боковые рёбра равны, то
$$SA_1=SA_2=\dots=SA_n.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$SA_1O,\,SA_2O,\dots,SA_nO$$. У них:
- гипотенузы равны: $$SA_1=SA_2=\dots=SA_n$$;
- катет общий по длине: $$SO$$.
Следовательно, эти прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Значит,
$$OA_1=OA_2=\dots=OA_n.$$
То есть точка $$O$$ равноудалена от всех вершин основания, а значит, она является центром окружности, описанной около основания. Поэтому высота пирамиды проходит через центр этой окружности.
Кроме того, в равных треугольниках $$SA_1O,\,SA_2O,\dots,SA_nO$$ равны острые углы при вершине $$O$$, поэтому
$$\angle SA_1O=\angle SA_2O=\dots=\angle SA_nO.$$
Но угол между боковым ребром и плоскостью основания равен углу между этим ребром и его проекцией на основание. Следовательно, все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы.
Ответ: высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания; все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы.
