Упр.249 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания; б) все боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.

Пусть $$S$$ — вершина пирамиды, а $$O$$ — основание высоты $$SO$$. Рассмотрим произвольную вершину основания, например $$A$$. Тогда треугольник $$SAO$$ прямоугольный, так как $$SO \perp (основанию)$$.

По условию все боковые рёбра пирамиды равны, значит

$$SA=SB=SC=\dots$$

Кроме того, $$SO$$ — общий катет для всех прямоугольных треугольников $$SAO,\,SBO,\,SCO,\dots$$, а гипотенузы у них равны. Следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и катету.

Отсюда получаем равенство их вторых катетов:

$$OA=OB=OC=\dots$$

Значит, точка $$O$$ равноудалена от всех вершин основания, то есть является центром окружности, описанной около основания. Следовательно, высота пирамиды проходит через центр этой окружности.

Теперь рассмотрим углы между боковыми рёбрами и плоскостью основания. Угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и её проекцией на плоскость. Проекцией ребра $$SA$$ на плоскость основания является отрезок $$AO$$, поэтому угол между $$SA$$ и основанием равен $$\angle SAO$$.

Но треугольники $$SAO,\,SBO,\,SCO,\dots$$ равны, значит равны и соответствующие углы при вершине $$A, B, C,\dots$$:

$$\angle SAO=\angle SBO=\angle SCO=\dots$$

Следовательно, все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы.

Ответ

а) Высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания; б) все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы.