Упр.248 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием пирамиды является треугольник со сторонами $$12\ \text{см}$$, $$10\ \text{см}$$ и $$10\ \text{см}$$. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом $$45^\circ$$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Обозначим через $$O$$ основание высоты пирамиды, а через $$r$$ — радиус вписанной окружности в основание $$\triangle ABC$$. Тогда в каждой боковой грани высота, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания, образует с плоскостью основания угол $$45^\circ$$.
Найдём сначала площадь основания по формуле Герона:
$$p=\frac{12+10+10}{2}=16$$
$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-12)(p-10)(p-10)}=\sqrt{16\cdot 4\cdot 6\cdot 6}=48\ \text{см}^2$$
Так как $$S_{ABC}=pr$$, то
$$48=16r \Rightarrow r=3\ \text{см}.$$
Рассмотрим сечение, проходящее через вершину пирамиды, центр вписанной окружности основания и точку касания на стороне основания. В этом сечении получаем прямоугольный треугольник, в котором угол между боковой гранью и основанием равен $$45^\circ$$. Поэтому
$$\tan 45^\circ=\frac{DO}{r}=1 \Rightarrow DO=r=3\ \text{см}.$$
Высота каждой боковой грани равна
$$l=\sqrt{DO^2+r^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\ \text{см}.$$
Периметр основания:
$$P=12+10+10=32\ \text{см}.$$
Тогда площадь боковой поверхности пирамиды:
$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}Pl=\frac{1}{2}\cdot 32\cdot 3\sqrt{2}=48\sqrt{2}\ \text{см}^2.$$
Ответ: $$48\sqrt{2}\ \text{см}^2$$.
