Упр.247 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание пирамиды; б) высоты всех боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны; в) площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведённую из вершины пирамиды.
Так как решение не зависит от числа вершин основания пирамиды, рассмотрим пирамиду с треугольным основанием $$ABC$$ и вершиной $$D$$. Пусть $$DO$$ — высота пирамиды, а $$DE$$, $$DF$$, $$DG$$ — высоты боковых граней.
По теореме о трёх перпендикулярах имеем:
$$EO \perp BC,\quad FO \perp AB,\quad GO \perp AC.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle EOD$$, $$\triangle FOD$$ и $$\triangle GOD$$. У них общий катет $$DO$$, а второй катет равен расстоянию от точки $$O$$ до соответствующей стороны основания. Кроме того, по условию двугранные углы при основании равны, значит эти треугольники равны по острому углу и катету. Следовательно,
$$EO=FO=GO.$$
Значит, точка $$O$$ равноудалена от всех сторон основания, то есть является центром окружности, вписанной в основание. Это доказывает пункт а).
Из равенства тех же прямоугольных треугольников получаем:
$$ED=FD=GD.$$
Следовательно, высоты всех боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны. Это доказывает пункт б).
Докажем пункт в). Площадь каждой боковой грани равна
$$S_i=\frac12 a_i h,$$
где $$a_i$$ — сторона основания, а $$h$$ — общая для всех граней высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды.
Тогда площадь всей боковой поверхности:
$$S_{\text{бок}}=\sum \frac12 a_i h =\frac12 h\sum a_i =\frac12 hP,$$
где $$P$$ — периметр основания пирамиды.
Итак,
$$S_{\text{бок}}=\frac12 Ph.$$
Ответ: а) высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности основания; б) высоты всех боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны; в) $$S_{\text{бок}}=\frac12 Ph$$.
