Упр.247 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание пирамиды; б) высоты всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны; в) площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины пирамиды.

Обозначим вершину пирамиды через $$S$$, а основание — через $$A_1A_2\dots A_n$$. Пусть $$SO$$ — высота пирамиды, а $$SB_1, SB_2, \dots, SB_n$$ — высоты боковых граней, проведённые из вершины $$S$$ к сторонам основания.

По теореме о трёх перпендикулярах имеем:

$$OB_1 \perp A_1A_2,\quad OB_2 \perp A_2A_3,\quad \dots,\quad OB_n \perp A_nA_1.$$

Рассмотрим двугранные углы при основании пирамиды. По условию они равны, значит равны и линейные углы этих двугранных углов:

$$\angle SO B_1=\angle SO B_2=\dots=\angle SO B_n.$$

Тогда прямоугольные треугольники $$\triangle SOB_1,\triangle SOB_2,\dots,\triangle SOB_n$$ равны по общему катету $$SO$$ и острому углу при вершине $$O$$. Следовательно,

$$OB_1=OB_2=\dots=OB_n.$$

Значит, точка $$O$$ равноудалена от всех сторон основания, то есть является центром окружности, вписанной в основание пирамиды. Это доказывает пункт а).

Из равенства тех же прямоугольных треугольников получаем также:

$$SB_1=SB_2=\dots=SB_n.$$

Следовательно, высоты всех боковых граней, проведённые из вершины пирамиды, равны. Это пункт б).

Теперь найдём площадь боковой поверхности. Площадь каждой боковой грани равна

$$S_{S A_i A_{i+1}}=\frac{1}{2}\,A_iA_{i+1}\cdot SB_i.$$

Так как все $$SB_i$$ равны, обозначим их через $$h_{\text{грани}}$$. Тогда

$$ S_{\text{бок}}=\sum \frac{1}{2}\,A_iA_{i+1}\cdot h_{\text{грани}} =\frac{1}{2}h_{\text{грани}}\sum A_iA_{i+1} =\frac{1}{2}P_{\text{осн}}\,h_{\text{грани}}. $$

Это и есть формула из пункта в).

Ответ

а) $$SO$$ проходит через центр вписанной в основание окружности; б) $$SB_1=SB_2=\dots=SB_n$$; в) $$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}P_{\text{осн}}\,h_{\text{грани}}$$.