Упр.246 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Высота треугольной пирамиды равна $$40\ \text{см}$$, а высота каждой боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, равна $$41\ \text{см}$$. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в её основание; б) найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен $$42\ \text{см}$$.

Обозначим основание пирамиды через $$ABC$$, вершину — через $$D$$, а основание высоты $$DO$$ — через точку $$O$$. Пусть $$E, F, G$$ — основания высот боковых граней, проведённых из точки $$D$$ к сторонам $$BC, AB, AC$$ соответственно.

Так как $$DE=DF=DG=41$$ см, а $$DO=40$$ см, то прямоугольные треугольники $$\triangle EOD$$, $$\triangle FOD$$ и $$\triangle GOD$$ равны по гипотенузе и катету. Следовательно,

$$EO=FO=GO.$$

По теореме о трёх перпендикулярах имеем:

$$EO\perp BC,\quad FO\perp AB,\quad GO\perp AC.$$

Значит, точка $$O$$ равноудалена от всех сторон треугольника $$ABC$$, то есть является центром окружности, вписанной в $$\triangle ABC$$. Следовательно, высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности основания.

Найдём радиус вписанной окружности основания. В прямоугольном треугольнике $$EOD$$:

$$OE=\sqrt{DE^2-DO^2}=\sqrt{41^2-40^2}=\sqrt{1681-1600}=\sqrt{81}=9\text{ см}.$$

Так как $$O$$ — центр вписанной окружности, то $$OE=r$$, где $$r$$ — радиус вписанной окружности треугольника $$ABC$$. Периметр основания равен $$42$$ см, значит полупериметр

$$p=\frac{42}{2}=21\text{ см}.$$

Площадь треугольника выражается формулой

$$S_{ABC}=pr=21\cdot 9=189\text{ см}^2.$$

Ответ: $$189\text{ см}^2$$.